Calcule o valor de cada inegral seguinte:
s=integral0^raizpi2 v sen(v^2) d v

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma mudança de variável que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a integral, vemos que temos e dentro da função seno. Isso sugere que podemos usar a substituição .

Passo 3

Com du = 2v , dv , precisamos calcular v , dv = du2 em termos de . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos mudar os limites de integração de u = 0^2 = 0 para u = (raizpi2)^2 = pi2 . Quando :
E quando :
Então, nossos novos limites para são de 0 a .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
s = integral0^pi2 sin(u) cdot du2 = 12 integral0^pi2 sin(u) , du
Agora, a integral ficou bem mais simples!

Passo 6

Vamos resolver a integral de integral sin(u) , du = -cos(u) + C . A antiderivada de 12 [ -cos(pi2) + cos(0) ] é . Então:
Aplicando os limites de integração:

Passo 7

Conhecendo os valores de cosseno:
cos(pi2) = 0 e cos(0) = 1
Substituindo na expressão:
12 [ -0 + 1 ] = 12 times 1 = 12

Resposta

O valor da integral é .

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m=integral-2^0 3 x raiz4-x^2 d x
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