Calcule o valor de cada inegral seguinte:
T=integral-1^1 d y1+e^y

Passo 1

Estamos com a tarefa de calcular a integral definida:
T = integral-1^1 11 + e^y , dy
Conteúdo da matéria: Integrais definidas e propriedades de funções simétricas.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre propriedades de funções simétricas e manipulação algébrica de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que está dentro da integral:
f(y) = 11 + e^y
Observamos que esta função tem uma propriedade interessante quando substituímos f(-y) = 11 + e^-y por :

Passo 3

Vamos somar f(y) + f(-y) = 11 + e^y + 11 + e^-y e = 1 + e^-y + 1 + e^y(1 + e^y)(1 + e^-y) :
= 2 + e^y + e^-y(1 + e^y)(1 + e^-y)
Para simplificar, encontraremos um denominador comum:
f(y) + f(-y) = 1
Simplificando o numerador:
Note que , mas para simplificação, percebemos que o numerador e o denominador se cancelam de forma que:

Passo 4

Sabendo que T = integral-1^1 f(y) , dy , podemos usar esta propriedade para calcular a integral:
T + T = integral-1^1 [f(y) + f(-y)] , dy = integral-1^1 1 , dy
Adicionando , que é igual a pela substituição de variável, temos:

Passo 5

Calculando a integral do lado direito:
integral-1^1 1 , dy = y |-1^1 = 1 - (-1) = 2
Então, temos:
2T = 2 Rightarrow T = 1

Resposta

O valor da integral é .

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