Encontre a expressão da derivada seguinte
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada de uma integral definida que vai de 1 até t, onde a função dentro da integral é √(3 + u + u²). A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma integral quando o limite superior é uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limite superior variável, ou seja, F(t) = ∫ₐᵗ f(u) du, então a derivada de F em relação a t é simplesmente f(t). Em símbolos, F’(t) = f(t).
Passo 3
Aplicando esse teorema ao nosso problema, temos F(t) = ∫₁ᵗ √(3 + u + u²) du. Segundo o teorema, para encontrar a derivada F’(t), basta substituir u por t na função dentro da integral.
Passo 4
Então, substituindo u por t na função √(3 + u + u²), ficamos com √(3 + t + t²).
Passo 5
Portanto, a derivada da integral dada em relação a t é simplesmente √(3 + t + t²).
Resposta
A derivada é igual a
.
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Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
e