Encontre a expressão da derivada seguinte
dd z integral-z^z 11+u^4 d u

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para encontrar a derivada em relação a de uma integral definida que vai de até da função . Então, estamos lidando com derivadas de integrais com limites variáveis, e para resolver isso, vamos precisar usar uma ferramenta chamada Regra de Leibniz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma integral com limites que dependem da variável pela qual queremos derivar (nesse caso, ), a gente pode usar a Regra de Leibniz para achar a derivada. Essa regra nos diz como lidar com integrais onde os limites de integração são funções da variável de diferenciação.

Passo 3

A Regra de Leibniz diz que, se temos uma integral da forma:
ddz integrala(z)^b(z) f(u) , du
então a derivada dessa integral é:
f(b(z)) cdot b'(z) - f(a(z)) cdot a'(z)
Ou seja, a gente avalia a função integranda nos limites superiores e inferiores, multiplica pela derivada desses limites, e subtrai os dois resultados.

Passo 4

No nosso caso, a integral é:
ddz integral-z^z 11+u^4 , du
Aqui, o limite inferior é e o limite superior é . A função que estamos integrando é .

Passo 5

Vamos aplicar a regra então:
f(b(z)) = f(z) = 11+z^4
f(a(z)) = f(-z) = 11+(-z)^4 = 11+z^4 (porque (-z)^4 = z^4)

Passo 6

Agora, vamos achar as derivadas dos limites:
b'(z) = ddz z = 1
a'(z) = ddz (-z) = -1

Passo 7

Finalmente, aplicando tudo na Regra de Leibniz:
ddz integral-z^z 11+u^4 , du = f(z) cdot b'(z) - f(-z) cdot a'(z) = 11+z^4 cdot 1 - 11+z^4 cdot (-1)
Simplificando:
11+z^4 + 11+z^4 = 21+z^4

Resposta

A derivada é:
ddz integral-z^z 11+u^4 , du = 21+z^4

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