Encontre a expressão da derivada seguinte
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para encontrar a derivada em relação a
de uma integral definida que vai de
até
da função
. Então, estamos lidando com derivadas de integrais com limites variáveis, e para resolver isso, vamos precisar usar uma ferramenta chamada Regra de Leibniz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma integral com limites que dependem da variável pela qual queremos derivar (nesse caso,
), a gente pode usar a Regra de Leibniz para achar a derivada. Essa regra nos diz como lidar com integrais onde os limites de integração são funções da variável de diferenciação.
Passo 3
A Regra de Leibniz diz que, se temos uma integral da forma:
então a derivada dessa integral é:
Ou seja, a gente avalia a função integranda
nos limites superiores e inferiores, multiplica pela derivada desses limites, e subtrai os dois resultados.
Passo 4
No nosso caso, a integral é:
Aqui, o limite inferior
é
e o limite superior
é
. A função
que estamos integrando é
.
Passo 5
Vamos aplicar a regra então:
Passo 6
Agora, vamos achar as derivadas dos limites:
Passo 7
Finalmente, aplicando tudo na Regra de Leibniz:
Simplificando:
Resposta
A derivada é:
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Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Encontre a expressão da derivada seguinte
Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
e