Calcule o valor de cada uma das integrais abaixo.
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Passo 1
Vamos resolver a integral definida
. Essa questão faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar conhecer as definições e propriedades das funções tangente (
) e secante (
), além de aplicar técnicas de integração por substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são
e
:
- Tangente:
- Secante:
Então, a expressão que temos dentro da integral é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral usando essa expressão simplificada:
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de substituição. Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral.
Passo 4
Vamos fazer a seguinte substituição:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na integral:
Passo 6
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos retornar à variável original
, lembrando que
:
Portanto, a integral indefinida é:
Passo 8
Como temos uma integral definida com limites de integração de
a
, devemos calcular:
Passo 9
Vamos calcular os valores:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: