Calcule o valor de cada uma das integrais abaixo. integral0^pi / 3 tan (x) sec (x) d x;

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^pi / 3 tan (x) sec (x) , dx. Essa questão faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar conhecer as definições e propriedades das funções tangente ( tan) e secante ( sec), além de aplicar técnicas de integração por substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são tan(x) e sec(x):
  • Tangente: tan(x) = sin(x)cos(x)
  • Secante: sec(x) = 1cos(x)
Então, a expressão que temos dentro da integral é:
tan(x) sec(x) = sin(x)cos(x) cdot 1cos(x) = sin(x)cos^2(x)

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral usando essa expressão simplificada:
integral0^pi / 3 sin(x)cos^2(x) , dx
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de substituição. Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral.

Passo 4

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = cos(x)
Então, a derivada de u em relação a x é:
du = -sin(x) , dx Rightarrow -du = sin(x) , dx

Passo 5

Agora, vamos substituir u e dx na integral:
integral sin(x)cos^2(x) , dx = integral -duu^2 = -integral u^-2 , du

Passo 6

Vamos integrar u^-2 em relação a u:
-integral u^-2 , du = -( u^-1-1 ) + C = 1u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos retornar à variável original x, lembrando que u = cos(x):
1u = 1cos(x) = sec(x)
Portanto, a integral indefinida é:
sec(x) + C

Passo 8

Como temos uma integral definida com limites de integração de 0 a pi/3, devemos calcular:
[ sec(x) ]0^pi/3 = sec(pi3) - sec(0)

Passo 9

Vamos calcular os valores:
  • sec(pi3) = 1cos(pi3) = 112 = 2
  • sec(0) = 1cos(0) = 11 = 1

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
2 - 1 = 1

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