Calcule o valor de cada uma das integrais abaixo. integral1^2 t^2 raizt^3+1 d t;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de de 1 a 2. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente, técnicas de integração. Para resolver essa integral, vamos precisar usar o método de substituição, que é uma maneira de simplificar integrais mais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a expressão. Observando , percebemos que o que está dentro da raiz, , pode ser uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para simplificar:
u = t^3 + 1
Agora, vamos calcular a derivada de dudt = 3t^2 em relação a du = 3t^2 dt :
Isso significa que:

Passo 4

Notamos que na nossa integral original temos t^2 dt = du3 , que está quase igual a parte da derivada que encontramos. Vamos resolver para :

Passo 5

Agora, substituímos integral1^2 t^2 raizt^3 + 1 dt = integralu(1)^u(2) raizu cdot du3 por e por na integral original:

Passo 6

Precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável u = 1^3 + 1 = 2 :
Quando u = 2^3 + 1 = 9 :
13 integral2^9 raizu du
Quando :
Então, a integral agora fica:

Passo 7

Vamos lembrar que 13 integral2^9 u^1/2 du é igual a integral u^n du = u^n+1n+1 + C . Assim, a integral se torna:
Para integrar , usamos a regra de potência da integração:

Passo 8

Aplicando a regra de potência:
13 [ u^3/232 ]2^9 = 13 cdot 23 [ u^3/2 ]2^9 = 29 [ u^3/2 ]2^9

Passo 9

Agora, substituímos os limites de 29 ( 9^3/2 - 2^3/2 ) :
9^3/2 = (9^1/2)^3 = 3^3 = 27
Sabemos que:
2^3/2 = (2^1/2)^3 = raiz2^3 = 2raiz2

Passo 10

Substituindo de volta:
29 (27 - 2raiz2) = 29 cdot 27 - 29 cdot 2raiz2 = 6 - 4raiz29

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados