Calcule o valor de cada uma das integrais abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de
de 1 a 2. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente, técnicas de integração. Para resolver essa integral, vamos precisar usar o método de substituição, que é uma maneira de simplificar integrais mais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a expressão. Observando
, percebemos que o que está dentro da raiz,
, pode ser uma boa candidata para substituição.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável para simplificar:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que:
Passo 4
Notamos que na nossa integral original temos
, que está quase igual a parte da derivada que encontramos. Vamos resolver para
:
Passo 5
Agora, substituímos
por
e
por
na integral original:
Passo 6
Precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável
:
Quando
:
Quando
:
Então, a integral agora fica:
Passo 7
Vamos lembrar que
é igual a
. Assim, a integral se torna:
Para integrar
, usamos a regra de potência da integração:
Passo 8
Aplicando a regra de potência:
Passo 9
Agora, substituímos os limites de
:
Sabemos que:
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
O valor da integral é
.