Calcule o valor de cada uma das integrais abaixo. integral0^1 z(2 z^2-5)^3 d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável).

Passo 2

A técnica de substituição ajuda a simplificar a integral escolhendo uma nova variável que torne a expressão mais fácil de integrar. Vamos definir:
u = 2 z^2 - 5

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial du = ddz(2 z^2 - 5) dz = 4 z dz em termos de z dz = du4 . Derivando em relação a :
Isso nos dá:

Passo 4

Substituindo integral0^1 z(2 z^2 - 5)^3 dz = integral 1u^3 cdot du4 = 14 integral u^-3 du e na integral original:

Passo 5

Vamos integrar integral u^-3 du = u^-2-2 + C = -12 u^2 + C :
14 cdot (-12 u^2) = -18 u^2 + C
Multiplicando pela constante :

Passo 6

Agora, voltamos a substituir -18 (2 z^2 - 5)^2 + C por :

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
[ -18 (2 z^2 - 5)^2 ]0^1 = ( -18 (2(1)^2 -5)^2 ) - ( -18 (2(0)^2 -5)^2 )
Simplificando cada termo:
Para -18 (2 - 5)^2 = -18 (-3)^2 = -172 :
-18 (0 - 5)^2 = -18 (25) = -1200
Para :

Resposta

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