Calcule o valor de cada uma das integrais abaixo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável).

Passo 2

A técnica de substituição ajuda a simplificar a integral escolhendo uma nova variável que torne a expressão mais fácil de integrar. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial em termos de . Derivando em relação a :
Isso nos dá:

Passo 4

Substituindo e na integral original:

Passo 5

Vamos integrar :
Multiplicando pela constante :

Passo 6

Agora, voltamos a substituir por :

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando cada termo:
Para :
Para :

Resposta

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