integral0^24 P(t) d t=integral0^24 E^prime(t) d t=E(24)-E(0)
é a quantidade total de energia consumida naquele dia. Aproximamos o valor da integral utilizando a Regra do Ponto Médio com 12 subintervalos e De :
& integral0^24 P(t) d t approx[P(1)+P(3)+P(5)+cdots+P(21)+P(23)] De
A energia usada foi aproximadamente 15.840 megawatts-hora.
2. (7.1 Exercícios) 1-2 Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral usando a técnica de integração por partes. A matéria que vamos precisar aqui é Cálculo Integral, especificamente o método de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como escolher e de forma adequada e aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é integração por partes. A fórmula básica é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Isso significa que precisamos escolher duas partes da função para ser e . A escolha certa facilita a resolução da integral.

Passo 3

Segundo, vamos identificar a integral que precisamos resolver. Pelo enunciado, temos uma integral que representa a energia total consumida:
integral0^24 P(t) , dt
Queremos calcular essa integral usando integração por partes, com as escolhas de e que foram indicadas no exercício.

Passo 4

Agora, vamos escolher e . Supondo que o exercício indicou:
Essas escolhas nos permitirão aplicar a integração por partes de forma eficaz.

Passo 5

Com essas escolhas, precisamos calcular v = integral P(t) , dt = E(t) + C e :
  • Para encontrar , integramos :
    Aqui, é a antiderivada de .

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral0^24 E(t) cdot P(t) , dt = E(t) cdot E(t) |0^24 - integral0^24 E(t) cdot E'(t) , dt
Simplificando:
integral0^24 E(t) cdot P(t) , dt = [ E(24)^2 - E(0)^2 ] - integral0^24 E(t) cdot E'(t) , dt

Passo 7

Observamos que integral E(t) cdot E'(t) , dt = 12 E(t)^2 |0^24 = 12 [ E(24)^2 - E(0)^2 ] pode ser simplificado usando substituição. Se deixarmos , então . Assim:

Passo 8

Substituindo de volta na equação anterior:
integral0^24 E(t) cdot P(t) , dt = [ E(24)^2 - E(0)^2 ] - 12 [ E(24)^2 - E(0)^2 ] = 12 [ E(24)^2 - E(0)^2 ]

Resposta

Portanto, a integral calculada por partes resulta em:
integral0^24 P(t) , dt = 12 [ E(24)^2 - E(0)^2 ]

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