Calcule o valor de cada uma das integrais abaixo. integral1^2 x^2+1x^2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função bem legal: . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente, de integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão dentro da integral e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma simplificada na função que está dentro da integral: x^2+1x^2 = x^2x^2 + 1x^2 = 1 + 1x^2 . Fazendo a divisão, temos:
integral1^2 (1 + 1x^2) , dx
Então, a integral fica mais fácil de resolver:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A beleza das integrais é que podemos separar a soma das funções:
integral (1 + 1x^2) , dx = integral 1 , dx + integral 1x^2 , dx
Primeiro, a integral de 1 em relação a integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (onde n neq -1) é simplesmente integral x^-2 , dx = x^-1-1 = -1x .
Para o segundo termo, podemos reescrever como e usar a regra da potência para integração. A regra diz que:
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Agora, juntando as integrais encontradas:
integral1^2 (1 + 1x^2) , dx = [ x - 1x ]1^2
Isso significa que vamos avaliar a expressão (2 - 12) - (1 - 11) = (42 - 12) - (1 - 1) = 32 - 0 = 32 nos limites de 1 a 2:

Resposta

O valor da integral é .

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