Esboce o gráfico (use as ferramentas que você aprendeu em sala de aula), dê o domínio e a imagem da função: f(x) = 2 x^2 - 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função , além de encontrar o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, como a identificação do vértice, a concavidade da parábola e os intervalos onde a função está definida e os valores que ela pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa é uma função quadrática, que tem a forma geral . No nosso caso, , e .

Passo 3

Como o coeficiente é positivo, isso significa que a parábola vai abrir para cima. Isso também nos indica que o vértice da parábola será o ponto de mínimo da função.

Passo 4

Vamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada do vértice é . Substituindo os valores:
Agora, substituímos na função para encontrar a coordenada :
Portanto, o vértice é .

Passo 5

Vamos identificar alguns pontos para desenhar o gráfico. Como a parábola é simétrica em relação ao eixo das ordenadas ( ), podemos escolher valores de positivos e negativos e calcular os correspondentes .
Por exemplo:
  • Para :
Então, o ponto é .
  • Para :
Então, o ponto é .
  • Para :
Então, o ponto é .
  • Para :
Então, o ponto é .

Passo 6

Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico da função. Lembrando que a parábola abre para cima e tem o vértice em , plotamos os pontos e desenhamos a curva simétrica.

Passo 7

Agora, vamos determinar o domínio e a imagem da função.
  • Domínio: Refere-se a todos os valores de para os quais a função está definida. Como a função é um polinômio quadrático, ela está definida para todos os números reais.
í
  • Imagem: Refere-se a todos os valores de que a função pode assumir. Como a parábola abre para cima e o vértice é o ponto mais baixo, o menor valor de é , e a função pode crescer até o infinito.

Resposta

O gráfico da função é uma parábola que abre para cima, com vértice em . O domínio da função é ou e a imagem é .

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