Esboce o gráfico (use as ferramentas que você aprendeu em sala de aula), dê o domínio e a imagem da função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função
, além de encontrar o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, como a identificação do vértice, a concavidade da parábola e os intervalos onde a função está definida e os valores que ela pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Essa é uma função quadrática, que tem a forma geral
. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Como o coeficiente
é positivo, isso significa que a parábola vai abrir para cima. Isso também nos indica que o vértice da parábola será o ponto de mínimo da função.
Passo 4
Vamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada
do vértice é
. Substituindo os valores:
Agora, substituímos
na função para encontrar a coordenada
:
Portanto, o vértice é
.
Passo 5
Vamos identificar alguns pontos para desenhar o gráfico. Como a parábola é simétrica em relação ao eixo das ordenadas (
), podemos escolher valores de
positivos e negativos e calcular os correspondentes
.
Por exemplo:
- Para
:
Então, o ponto é
.
- Para
:
Então, o ponto é
.
- Para
:
Então, o ponto é
.
- Para
:
Então, o ponto é
.
Passo 6
Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico da função. Lembrando que a parábola abre para cima e tem o vértice em
, plotamos os pontos e desenhamos a curva simétrica.
Passo 7
Agora, vamos determinar o domínio e a imagem da função.
- Domínio: Refere-se a todos os valores de
para os quais a função está definida. Como a função é um polinômio quadrático, ela está definida para todos os números reais.
- Imagem: Refere-se a todos os valores de
que a função pode assumir. Como a parábola abre para cima e o vértice é o ponto mais baixo, o menor valor de é , e a função pode crescer até o infinito.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola que abre para cima, com vértice em
. O domínio da função é
ou
e a imagem é
.