Calcule o valor de cada uma das integrais a seguir.
b) integral x sec (x) tan (x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral . Esse tipo de integral envolve funções trigonométricas e um termo polinomial, então vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

A integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Para aplicar essa fórmula, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = x e dv = sec(x) tan(x) , dx
Agora, vamos derivar du = dx e integrar v = integral sec(x) tan(x) , dx :
v = sec(x)
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x sec(x) tan(x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot sec(x) - integral sec(x) , dx
Agora, precisamos resolver integral sec(x) , dx = ln |sec(x) + tan(x)| + C . Sabemos que:
= x cdot sec(x) - ln |sec(x) + tan(x)| + C
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral x cdot sec(x) - ln |sec(x) + tan(x)| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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