Calcule o valor de cada uma das integrais a seguir.
h) integral0^2 x^2 3^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida que é . Aqui, estamos lidando com cálculo integrado, especificamente integrais que envolvem funções polinomiais multiplicadas por exponenciais. Para resolver isso, vamos usar o método de Integração por Partes, que é super útil quando temos um produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão integral u , dv = u cdot v - integral v , du e u = x^2 e dv = 3^x dx na fórmula de integração por partes:
du = 2x , dx e v = 3^xln 3
Neste caso, vamos escolher:
Assim, vamos derivar e integrar :

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x^2 cdot 3^x dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= x^2 cdot 3^xln 3 - integral 3^xln 3 cdot 2x , dx
Simplificando:
= x^2 cdot 3^xln 3 - 2ln 3 integral x cdot 3^x dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral u = x e dv = 3^x dx . Vamos usar novamente a integração por partes para essa parte:
Escolhemos:
du = dx e v = 3^xln 3
Então:
integral x cdot 3^x dx = x cdot 3^xln 3 - integral 3^xln 3 cdot dx
Aplicando a fórmula:
= x cdot 3^xln 3 - 1ln 3 integral 3^x dx
Simplificando:
integral 3^x dx = 3^xln 3
A última integral é direta:
= x cdot 3^xln 3 - 3^x(ln 3)^2
Então:

Passo 5

Voltando ao passo 3, substituímos o valor da integral integral x^2 cdot 3^x dx = x^2 cdot 3^xln 3 - 2ln 3 ( x cdot 3^xln 3 - 3^x(ln 3)^2 ) :
= x^2 cdot 3^xln 3 - 2x cdot 3^x(ln 3)^2 + 2 cdot 3^x(ln 3)^3
Distribuindo o :

Passo 6

Agora, calculamos essa expressão nos limites de 0 a 2:
[ x^2 cdot 3^xln 3 - 2x cdot 3^x(ln 3)^2 + 2 cdot 3^x(ln 3)^3 ]0^2
Primeiro, para 4 cdot 9ln 3 - 4 cdot 9(ln 3)^2 + 2 cdot 9(ln 3)^3 = 36ln 3 - 36(ln 3)^2 + 18(ln 3)^3 :
0 cdot 1ln 3 - 0 cdot 1(ln 3)^2 + 2 cdot 1(ln 3)^3 = 2(ln 3)^3
Agora, para ( 36ln 3 - 36(ln 3)^2 + 18(ln 3)^3 ) - 2(ln 3)^3 = 36ln 3 - 36(ln 3)^2 + 16(ln 3)^3 :
Subtraindo:

Resposta

Assim, o valor da integral 36ln 3 - 36(ln 3)^2 + 16(ln 3)^3 approx 22,58 é:

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