Calcule o valor de cada uma das integrais a seguir.
i) integral0^pi2 sen(3 x) cos (x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que ajuda a multiplicar seno e cosseno:
sin(A) cos(B) = sin(A + B) + sin(A - B)2
No nosso caso, sin(3x) cos(x) = sin(3x + x) + sin(3x - x)2 = sin(4x) + sin(2x)2 e . Aplicando a identidade:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral0^pi2 sin(3x) cos(x) ,dx = integral0^pi2 sin(4x) + sin(2x)2 ,dx = 12 ( integral0^pi2 sin(4x) ,dx + integral0^pi2 sin(2x) ,dx )

Passo 4

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente. A integral de é :

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração a cada uma:
  1. Para -cos(4x)4 |0^pi2 = -cos(2pi)4 + cos(0)4 = -14 + 14 = 0 :
-cos(2x)2 |0^pi2 = -cos(pi)2 + cos(0)2 = -(-1)2 + 12 = 12 + 12 = 1
  1. Para :

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais e multiplicando por 12 (0 + 1) = 12 :

Resposta

O valor da integral é .

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