Obtenha o valor da área da região limitada pelas curvas
, pelo eixo
e pela reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelas curvas
, pelo eixo
(que é
) e pela reta
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de integração para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites dessa área. A curva
cruza o eixo
quando
, ou seja, quando
. Então, nossos limites de integração vão de
até
.
Passo 3
Agora, para encontrar a área entre essas curvas, usamos a integral definida. A fórmula geral para a área
entre duas curvas
e
de
a
é:
No nosso caso,
e
(porque estamos dependendo do eixo
).
Passo 4
Vamos montar a integral com nossos valores:
Passo 5
Para resolver essa integral, precisamos lembrar que a integral de
é calculada usando integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher
e
. Então, derivando e integrando, temos:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Sabemos que
e
, então substituindo:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule o valor de cada uma das integrais a seguir.
i) ;
i)
Calcule o valor de cada uma das integrais a seguir.
h)
h)
Determine a equação da reta tangente à curva da função
no ponto
.
Verifique se a função
é contínua em
.