Obtenha o valor da área da região limitada pelas curvas , pelo eixo e pela reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelas curvas , pelo eixo (que é ) e pela reta . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de integração para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites dessa área. A curva cruza o eixo quando , ou seja, quando . Então, nossos limites de integração vão de até .

Passo 3

Agora, para encontrar a área entre essas curvas, usamos a integral definida. A fórmula geral para a área entre duas curvas e de a é:
No nosso caso, e (porque estamos dependendo do eixo ).

Passo 4

Vamos montar a integral com nossos valores:

Passo 5

Para resolver essa integral, precisamos lembrar que a integral de é calculada usando integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher e . Então, derivando e integrando, temos:

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Sabemos que e , então substituindo:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

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Calcule o valor de cada uma das integrais a seguir.
i) ;
Calcule o valor de cada uma das integrais a seguir.
h)
Determine a equação da reta tangente à curva da função no ponto .
Verifique se a função é contínua em .