Calcule o valor de cada limite a seguir, se o mesmo existir.
o) lim x 0 3 x^21-cos ^2(x2);

Passo 1

Vamos calcular o limite lim x 0 3 x^21-cos ^2(x2). Esse exercício faz parte do estudo de limites em cálculo, onde analisamos o comportamento de uma função à medida que a variável se aproxima de um valor específico. Para resolver, vamos precisar utilizar identidades trigonométricas e propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Sabemos que:
1 - cos^2(x2) = sin^2(x2)
Isso é resultado da identidade trigonométrica fundamental sin^2theta + cos^2theta = 1. Então, substituindo:
3 x^21-cos^2(x2) = 3 x^2sin^2(x2)

Passo 3

Agora, lembramos de uma propriedade importante dos limites trigonométricos que diz:
limz to 0 sin zz = 1
Isso significa que para valores de z próximos de zero, sin z approx z. Vamos aplicar isso no nosso caso, onde z = x2. Assim:
sin(x2) approx x2 quando x to 0
Portanto:
sin^2(x2) approx (x2)^2 = x^24

Passo 4

Substituindo essa aproximação na nossa expressão original:
3 x^2sin^2(x2) approx 3 x^2x^24 = 3 times x^2x^24 = 3 times 4 = 12

Resposta

O valor do limite é 12.

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