Utilize o Teorema do Confronto para obter o valor de cada um dos limites a seguir, se o mesmo existir.
b) lim x 0 x^2 cos (1raizx^2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 x^2 cos (1raizx^2). Aqui, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche) que nos ajuda a encontrar limites quando uma função está entre duas outras funções que têm o mesmo limite. Para isso, precisamos identificar funções que “confrontam” a função que estamos analisando.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do cosseno. Sabemos que raizx^2 = |x|, então temos:
cos(1raizx^2) = cos(1|x|)
Como cos(theta) sempre está entre -1 e 1 para qualquer theta, podemos afirmar que:
-1 <= cos(1|x|) <= 1

Passo 3

Agora, multiplicamos todos os membros dessa desigualdade por x^2. Como x^2 é sempre positivo, a desigualdade se mantém:
- x^2 <= x^2 cos(1|x|) <= x^2

Passo 4

Observamos que tanto -x^2 quanto x^2 tendem a 0 quando x se aproxima de 0:
limx to 0 -x^2 = 0 e limx to 0 x^2 = 0

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, se uma função está sempre entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então a função também tende a esse limite. Assim, temos:
limx to 0 x^2 cos(1|x|) = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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