Utilize o Teorema do Confronto para obter o valor de cada um dos limites a seguir, se o mesmo existir.
b)
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche) que nos ajuda a encontrar limites quando uma função está entre duas outras funções que têm o mesmo limite. Para isso, precisamos identificar funções que “confrontam” a função que estamos analisando.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do cosseno. Sabemos que
, então temos:
Como
sempre está entre -1 e 1 para qualquer
, podemos afirmar que:
Passo 3
Agora, multiplicamos todos os membros dessa desigualdade por
. Como
é sempre positivo, a desigualdade se mantém:
Passo 4
Observamos que tanto
quanto
tendem a 0 quando
se aproxima de 0:
Passo 5
Pelo Teorema do Confronto, se uma função está sempre entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então a função também tende a esse limite. Assim, temos:
Resposta
O limite é igual a 0.