Obtenha e, caso existam, classifique os pontos críticos da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar e, se existirem, classificar os pontos críticos da função
. Isso envolve derivadas parciais e análise de máximos e mínimos, que faz parte do cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, para achar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero. Isso porque pontos críticos ocorrem onde a inclinação da função é zero em todas as direções.
Vamos calcular
e
:
Passo 3
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos simplificar a equação (2):
Passo 4
Substituímos
na equação (1) para encontrar valores de
:
Para
:
Multiplicando por 9 para eliminar denominadores:
Resolvendo:
Para a equação quadrática:
Então:
Portanto, para
, temos pontos em
,
e
.
Passo 5
Agora, para
:
Multiplicando por 9:
Resolvendo:
Dividindo a equação quadrática por 2:
Então:
Portanto, para
, temos pontos em
,
e
.
Passo 6
Agora, juntando todas as soluções:
-
: -
-
- Ponto:
-
-
: -
- Ponto:
-
-
: -
- Ponto:
-
-
: -
- Ponto:
-
-
: -
- Ponto:
-
Passo 7
Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos a segunda derivada e o discriminante
.
Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é:
Classificação:
- Se
e : mínimo local - Se
e : máximo local - Se
: ponto de sela - Se
: inconclusivo
Vamos calcular para cada ponto:
-
Ponto
: Classificação: Inconclusivo -
Ponto
: Como, é um mínimo local. -
Ponto
: Ponto de sela. -
Ponto
: Ponto de sela. -
Ponto
: Como, é um mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
– Inconclusivo -
– Mínimo local -
– Ponto de sela -
– Ponto de sela -
– Mínimo local
Exercícios relacionados
Calcule o valor de cada limite a seguir, se o mesmo existir.
k) ;
k)
Calcule o valor de cada limite a seguir, se o mesmo existir.
j) ;
j)
Utilize o Teorema do Confronto para obter o valor de cada um dos limites a seguir, se o mesmo existir.
b) ;
b)
Calcule o valor de cada limite a seguir, se o mesmo existir.
o) ;
o)