Obtenha e, caso existam, classifique os pontos críticos da função
f(x, y) = x^4/9 - x^2 * y + 3 * y^3 - x^2 + 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar e, se existirem, classificar os pontos críticos da função . Isso envolve derivadas parciais e análise de máximos e mínimos, que faz parte do cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, para achar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero. Isso porque pontos críticos ocorrem onde a inclinação da função é zero em todas as direções.
Vamos calcular e :

Passo 3

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos simplificar a equação (2):

Passo 4

Substituímos na equação (1) para encontrar valores de :
Para :
Multiplicando por 9 para eliminar denominadores:
Resolvendo:
Para a equação quadrática:
Então:
Portanto, para , temos pontos em , e .

Passo 5

Agora, para :
Multiplicando por 9:
Resolvendo:
Dividindo a equação quadrática por 2:
Então:
Portanto, para , temos pontos em , e .

Passo 6

Agora, juntando todas as soluções:
  1. :
    • Ponto:
  2. :
    • Ponto:
  3. :
    • Ponto:
  4. :
    • Ponto:
  5. :
    • Ponto:

Passo 7

Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos a segunda derivada e o discriminante .
Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é:
Classificação:
  • Se e : mínimo local
  • Se e : máximo local
  • Se : ponto de sela
  • Se : inconclusivo
Vamos calcular para cada ponto:
  1. Ponto :
    Classificação: Inconclusivo
  2. Ponto :
    Como , é um mínimo local.
  3. Ponto :
    Ponto de sela.
  4. Ponto :
    Ponto de sela.
  5. Ponto :
    Como , é um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  1. – Inconclusivo
  2. – Mínimo local
  3. – Ponto de sela
  4. – Ponto de sela
  5. – Mínimo local

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