Seja
e considere a base canônica deste espaço descrita por
Seja
é descrita por
(i) Encontre
, onde
é a base canônica do espaço
.
Passo 1
Beleza, vai que a gente desvenda esse exercício juntos! A gente tem um espaço de matrizes 2x2 com números reais, chamado
, e uma transformação linear
que pega essas matrizes e transforma em vetores no espaço
. A base canônica
desse espaço de matrizes é como os blocos de construção básicos que a gente usa para montar qualquer matriz 2x2. O que a gente precisa fazer é encontrar a representação matricial dessa transformação
usando essas bases. Para isso, vamos precisar entender como a transformação atua nas bases e montar a matriz correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como uma transformação linear é representada por uma matriz. Se temos uma transformação
, a matriz de
na base
de
e na base canônica
de
é construída aplicando
a cada vetor da base
e expressando o resultado em termos da base
.
Passo 3
Nossa base
para
são as quatro matrizes:
Vamos aplicar
a cada uma dessas matrizes.
Passo 4
Aplicando
em
:
Aplicando
em
:
Aplicando
em
:
Aplicando
em
:
Passo 5
Agora, vamos montar a matriz
. Cada coluna dessa matriz é a imagem de
aplicada aos vetores da base
, expressos na base
.
Então, temos:
Resposta
A matriz de
na base
para
e na base canônica
para
é
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Calcule o valor de cada limite a seguir, se o mesmo existir.
o) ;
o)
Utilize o Teorema do Confronto para obter o valor de cada um dos limites a seguir, se o mesmo existir.
b) ;
b)
A função
verifica a equação
?
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.