Seja V=M2 times 2(R) e considere a base canônica deste espaço descrita por
C=(ll 1 & 0 0 & 0 ),(ll 0 & 1 0 & 0 ),(ll 0 & 0 1 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 )
Seja S: V R^2 é descrita por
T(ll a & b c & d )=(a+d, b+c)
(i) Encontre [T]C2^C, onde C2 é a base canônica do espaço R^2.

Passo 1

Beleza, vai que a gente desvenda esse exercício juntos! A gente tem um espaço de matrizes 2x2 com números reais, chamado , e uma transformação linear que pega essas matrizes e transforma em vetores no espaço . A base canônica desse espaço de matrizes é como os blocos de construção básicos que a gente usa para montar qualquer matriz 2x2. O que a gente precisa fazer é encontrar a representação matricial dessa transformação usando essas bases. Para isso, vamos precisar entender como a transformação atua nas bases e montar a matriz correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como uma transformação linear é representada por uma matriz. Se temos uma transformação , a matriz de na base de e na base canônica de é construída aplicando a cada vetor da base e expressando o resultado em termos da base .

Passo 3

Nossa base E1 = 1 & 0 0 & 0 , E2 = 0 & 1 0 & 0 , E3 = 0 & 0 1 & 0 , E4 = 0 & 0 0 & 1 para são as quatro matrizes:
Vamos aplicar a cada uma dessas matrizes.

Passo 4

Aplicando T(E1) = T( 1 & 0 0 & 0 ) = (1 + 0, 0 + 0) = (1, 0) em T(E2) = T( 0 & 1 0 & 0 ) = (0 + 0, 1 + 0) = (0, 1) :
T(E3) = T( 0 & 0 1 & 0 ) = (0 + 0, 0 + 1) = (0, 1)
Aplicando T(E4) = T( 0 & 0 0 & 1 ) = (0 + 1, 0 + 0) = (1, 0) em :
Aplicando em :
Aplicando em :

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz [T]C2^C = 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 . Cada coluna dessa matriz é a imagem de aplicada aos vetores da base , expressos na base .
Então, temos:

Resposta

A matriz de [T]C2^C = 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 na base para e na base canônica para é

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