A função f(x, y)=x-yx+y verifica a equação y partial fpartial x+x partial fpartial y=-2(x-y)x+y ?

Passo 1

Então, temos um exercício de cálculo envolvendo funções de duas variáveis e derivadas parciais. A função dada é , e queremos verificar se ela satisfaz a equação diferencial parcial . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e então substituir na equação para ver se ela é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = (1)(x + y) - (x - y)(1)(x + y)^2 = (x + y) - (x - y)(x + y)^2 = 2y(x + y)^2 em relação a , que denotamos por . A função é uma fração, então aplicamos a regra do quociente:

Passo 3

Agora, calculamos a derivada parcial de partial fpartial y = (-1)(x + y) - (x - y)(1)(x + y)^2 = (-x - y) - (x - y)(x + y)^2 = -2x(x + y)^2 em relação a , denotada por :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, substituímos na equação dada:
y partial fpartial x + x partial fpartial y = y ( 2y(x + y)^2 ) + x ( -2x(x + y)^2 ) = 2y^2 - 2x^2(x + y)^2

Passo 5

Agora, vamos comparar o resultado obtido com o lado direito da equação que queremos verificar:
-2(x - y)x + y = -2x + 2yx + y = 2y - 2xx + y
Para comparar, observamos que:
2y^2 - 2x^2(x + y)^2 = 2(y^2 - x^2)(x + y)^2 = 2(y - x)(y + x)(x + y)^2 = 2(y - x)x + y = -2(x - y)x + y

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação diferencial parcial .

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