Calcule o valor de cada limite a seguir, se o mesmo existir.
q) lim x pi2 1-sen(x)pi2-x (sugestão: tome t=pi2-x ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x pi2 1-sin(x)pi2-x
Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos seguir a dica e fazer uma substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
t = pi2 - x
Quando se aproxima de , se aproxima de 0. Isso vai nos ajudar a reescrever o limite em termos de , facilitando os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos reescrever x = pi2 - t implies sin(x) = sin(pi2 - t) em termos de sin(x) = cos(t) :
Lembrando que . Então,

Passo 4

Substituindo tudo na expressão original:
1 - sin(x)pi2 - x = 1 - cos(t)t
Agora, nosso limite fica:
limt to 0 1 - cos(t)t

Passo 5

Para resolver esse limite, podemos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar:
1 - cos(t) = 2 sin^2(t2)
Substituindo na expressão:
2 sin^2(t2)t = 2 cdot sin^2(t2)t

Passo 6

Agora, podemos reescrever limt to 0 sin(t2)t2 = 1 como limt to 0 sin^2(t2)t = limt to 0 (sin(t2)t2)^2 cdot t4 = 1 cdot 0 = 0 . Sabemos que:
Portanto,

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
2 cdot limt to 0 sin^2(t2)t = 2 cdot 0 = 0

Resposta

O valor do limite é 0.

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