Use o Teorema de Stokes para determinar
onde
e C é o círculo com raio a no plano xy com orientação anti-horária olhando o eixo
positivo de cima para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O objetivo é calcular a integral de linha
onde
. A curva
é um círculo de raio
no plano
, com orientação anti-horária quando olhamos pelo eixo
positivo. Para resolver isso, vamos precisar do Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície envolvendo o rotacional do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Aqui,
é o rotacional de
,
é o vetor normal à superfície
que é limitada pela curva
, e
é um elemento de área da superfície.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. Se
, então:
Para
:
Então:
Passo 4
Agora precisamos determinar o vetor normal
à superfície
. Como a curva
está no plano
, podemos escolher a superfície
também no plano
. O vetor normal para o plano
é
. Além disso, a orientação anti-horária de
implica que
está na direção positiva do eixo
.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar entre o rotacional de
e o vetor normal
:
Isso significa que a integral de superfície será simplesmente a integral de
sobre a região do círculo
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a área do círculo de raio
no plano
. A área
de um círculo é dada por:
Passo 7
Finalmente, aplicando o Teorema de Stokes:
Resposta
Então, a integral
vale
.