Use o Teorema de Stokes para determinar onde e C é o círculo com raio a no plano xy com orientação anti-horária olhando o eixo positivo de cima para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O objetivo é calcular a integral de linha onde . A curva é um círculo de raio no plano , com orientação anti-horária quando olhamos pelo eixo positivo. Para resolver isso, vamos precisar do Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície envolvendo o rotacional do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Aqui, é o rotacional de , é o vetor normal à superfície que é limitada pela curva , e é um elemento de área da superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . Se , então:
Para :
Então:

Passo 4

Agora precisamos determinar o vetor normal à superfície . Como a curva está no plano , podemos escolher a superfície também no plano . O vetor normal para o plano é . Além disso, a orientação anti-horária de implica que está na direção positiva do eixo .

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar entre o rotacional de e o vetor normal :
Isso significa que a integral de superfície será simplesmente a integral de sobre a região do círculo .

Passo 6

Agora, vamos calcular a área do círculo de raio no plano . A área de um círculo é dada por:

Passo 7

Finalmente, aplicando o Teorema de Stokes:

Resposta

Então, a integral vale .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico dos seguintes campos vetoriais:
6.
Usando integrais de superfícies, calcule a área da superfície do paraboloide limitado por 4 .
Seja :
, utilizando derivadas parciais calcule:
, utilizando derivadas parciais calcule:
Calcule o valor de cada limite a seguir, se o mesmo existir.
q) (sugestão: tome ).