Use o Teorema de Stokes para determinar integralC F d r onde F(x, y, z)=(x-y, y-z, z-x) e C é o círculo com raio a no plano xy com orientação anti-horária olhando o eixo z positivo de cima para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O objetivo é calcular a integral de linha integralC F cdot dr onde F(x, y, z) = (x - y, y - z, z - x). A curva C é um círculo de raio a no plano xy, com orientação anti-horária quando olhamos pelo eixo z positivo. Para resolver isso, vamos precisar do Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície envolvendo o rotacional do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Aqui, nabla times F é o rotacional de F, n é o vetor normal à superfície S que é limitada pela curva C, e dS é um elemento de área da superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. Se F = (Fx, Fy, Fz), então:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Para F = (x - y, y - z, z - x):
  • partial Fzpartial y = partial (z - x)partial y = 0
  • partial Fypartial z = partial (y - z)partial z = -1
  • partial Fxpartial z = partial (x - y)partial z = 0
  • partial Fzpartial x = partial (z - x)partial x = -1
  • partial Fypartial x = partial (y - z)partial x = 0
  • partial Fxpartial y = partial (x - y)partial y = -1
Então:
nabla times F = (0 - (-1), 0 - (-1), 0 - (-1)) = (1, 1, 1)

Passo 4

Agora precisamos determinar o vetor normal n à superfície S. Como a curva C está no plano xy, podemos escolher a superfície S também no plano xy. O vetor normal para o plano xy é (0, 0, 1). Além disso, a orientação anti-horária de C implica que n está na direção positiva do eixo z.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar entre o rotacional de F e o vetor normal n:
(nabla times F) cdot n = (1, 1, 1) cdot (0, 0, 1) = 1
Isso significa que a integral de superfície será simplesmente a integral de 1 sobre a região do círculo C.

Passo 6

Agora, vamos calcular a área do círculo de raio a no plano xy. A área A de um círculo é dada por:
A = pi a^2

Passo 7

Finalmente, aplicando o Teorema de Stokes:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS 1 , dS = pi a^2

Resposta

Então, a integral integralC F cdot dr vale pi a^2.

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