Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial que depende de variáveis como , e . Precisamos calcular as derivadas parciais dessa função em diferentes contextos. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que nos permite ver como a função muda quando uma variável é alterada, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Parte a) A função vetorial é dada por:
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 3
Primeiro, derivamos cada componente de em relação a :
Então, a derivada parcial em relação a é:
Passo 4
Agora, derivamos cada componente de em relação a :
Então, a derivada parcial em relação a é:
Passo 5
Parte b) A função vetorial agora depende de também:
Vamos calcular as derivadas parciais em relação a , e .
Passo 6
Derivando cada componente de em relação a :
Então, a derivada parcial em relação a é:
Passo 7
Derivando cada componente de em relação a :
Então, a derivada parcial em relação a é:
Passo 8
Derivando cada componente de em relação a :
Então, a derivada parcial em relação a é:
Passo 9
Parte c) Agora, vamos avaliar a função vetorial no ponto específico . Substituímos esses valores na função: