Calcule o valor da derivada de segunda ordem nos pontos indicados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de segunda ordem da função
no ponto
. Vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente técnicas de derivação de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de
. Para isso, podemos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma função na forma de um quociente de duas funções.
A regra do quociente diz que se
, então:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de
e
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada,
, derivando
. Para isso, vamos usar novamente a regra do quociente.
Primeiro, identifiquemos
e
.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
e
:
Passo 7
Aplicando a regra do quociente para
:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão de
:
Resposta
O valor da segunda derivada de
no ponto
é
.
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