Calcule o valor da derivada de segunda ordem nos pontos indicados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de segunda ordem da função no ponto . Vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente técnicas de derivação de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de . Para isso, podemos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma função na forma de um quociente de duas funções.
A regra do quociente diz que se , então:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de e :

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, , derivando . Para isso, vamos usar novamente a regra do quociente.
Primeiro, identifiquemos e .

Passo 6

Calculamos as derivadas de e :

Passo 7

Aplicando a regra do quociente para :
Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão de :

Resposta

O valor da segunda derivada de no ponto é .

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Calcule a derivada das funções a seguir:
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