Calcule o valor da derivada de segunda ordem nos pontos indicados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de segunda ordem da função
no ponto
. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas e aplicar isso duas vezes para achar a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação a
. Usamos a regra do poder, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Aplicando a regra do poder em cada termo da função:
Então, a primeira derivada é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada
. Isso nos dá a concavidade da função e como a taxa de variação da função está mudando.
Passo 5
Aplicando a regra do poder novamente em cada termo da primeira derivada:
Então, a segunda derivada é:
Passo 6
Agora, vamos substituir
na segunda derivada para encontrar o valor desejado.
Passo 7
Calculando cada termo:
Passo 8
Somando tudo:
Na verdade, vamos corrigir a soma:
Resposta
O valor da derivada de segunda ordem no ponto
é
.
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