Calcule o valor dos determinantes abaixo:
D=|ccc2 & log 5 5 & log 5 5 5 & log 5 125 & log 5 25 8 & log 3 27 & log 3 243|

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que calcular o determinante de uma matriz 3x3 que contém alguns logaritmos. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades básicas dos logaritmos e como calcular determinantes de matrizes. Basicamente, vamos simplificar os logaritmos e depois calcular o determinante normalmente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular cada um dos logaritmos que aparecem na matriz usando as propriedades dos logaritmos:
  • log5 5: Sabemos que loga a = 1 porque qualquer número elevado à potência 1 é ele mesmo. Então, log5 5 = 1.
  • log5 125: Podemos reescrever 125 como 5^3. Então, log5 125 = log5 5^3 = 3.
  • log5 25: 25 é igual a 5^2. Portanto, log5 25 = log5 5^2 = 2.
  • log3 27: Sabemos que 27 é 3^3. Assim, log3 27 = log3 3^3 = 3.
  • log3 243: 243 pode ser escrito como 3^5. Então, log3 243 = log3 3^5 = 5.

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores simplificados na matriz original:
D = |ccc 2 & 1 & 1 5 & 3 & 2 8 & 3 & 5 |

Passo 4

Com a matriz simplificada em mãos, vamos calcular o determinante. Para uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
D = 2 times (3 times 5 - 2 times 3) - 1 times (5 times 5 - 2 times 8) + 1 times (5 times 3 - 3 times 8)

Passo 5

Vamos fazer as multiplicações dentro dos parênteses:
D = 2 times (15 - 6) - 1 times (25 - 16) + 1 times (15 - 24)
D = 2 times 9 - 1 times 9 + 1 times (-9)

Passo 6

Agora, vamos resolver cada termo:
D = 18 - 9 - 9 = 0

Resposta

O valor do determinante D é 0.

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