Exercício 1: Em cada item, verifique, usando a definição, se o conjunto é base do respectivo espaço vetorial .
a) e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto é uma base do espaço vetorial . Para resolver isso, vamos usar o conceito de base, que está ligado a independência linear e a geração do espaço. Precisamos ver se esses vetores são lineares independentes e se conseguem “preencher” todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se os vetores em são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Para testar isso, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
O determinante é , que é diferente de zero. Isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, vamos verificar se esses vetores geram todo o espaço . Como temos três vetores em e eles são linearmente independentes, automaticamente eles geram o espaço todo. Em outras palavras, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.