Exercício 1: Em cada item, verifique, usando a definição, se o conjunto B é base do respectivo espaço vetorial V.
a) B=(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0) e V=R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto é uma base do espaço vetorial . Para resolver isso, vamos usar o conceito de base, que está ligado a independência linear e a geração do espaço. Precisamos ver se esses vetores são lineares independentes e se conseguem “preencher” todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se os vetores em 1 & 0 & 1 0 & 1 & 2 1 & 0 & 0 são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Para testar isso, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
A matriz fica assim:
Vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 3

Calculando o determinante:
det = 1 cdot (1 cdot 0 - 2 cdot 0) - 0 cdot (0 cdot 0 - 2 cdot 1) + 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) = 1 cdot 0 - 0 cdot (-2) + 1 cdot (-1) = 0 - 0 - 1 = -1
O determinante é , que é diferente de zero. Isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, vamos verificar se esses vetores geram todo o espaço . Como temos três vetores em e eles são linearmente independentes, automaticamente eles geram o espaço todo. Em outras palavras, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.

Resposta

Sim, o conjunto é uma base do espaço vetorial .

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