Calcule o valor esperado da energia potencial V para o elétron no estado 1 s do átomo de Hidrogênio. Usando este resultado, calcule o valor esperado da energia cinética T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é para calcular o valor esperado da energia potencial de um elétron no estado do átomo de Hidrogênio. Depois, com esse resultado, vamos calcular o valor esperado da energia cinética . Para isso, vamos precisar usar conceitos da mecânica quântica, especialmente relacionados aos estados quânticos do átomo de Hidrogênio e às fórmulas que descrevem a energia potencial e cinética nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a energia potencial V(r) = -e^24pivarepsilon0 r para um elétron no átomo de Hidrogênio. Ela é dada pela interação coulombiana entre o elétron e o próton no núcleo. A fórmula é:
Aqui, é a carga do elétron, é a permissividade do vácuo, e é a distância entre o elétron e o núcleo.

Passo 3

Para encontrar o valor esperado de lang<= 1r rang<= = 1a0 no estado , precisamos calcular a média dessa energia sobre o estado quântico . A função de onda para o estado é conhecida e a expectativa de para esse estado é:
Onde é o raio de Bohr, que é aproximadamente metros.

Passo 4

Substituindo essa expectativa na expressão da energia potencial, temos:
lang<= V rang<= = -e^24pivarepsilon0 lang<= 1r rang<= = -e^24pivarepsilon0 a0
Essa é a energia potencial média para o elétron no estado .

Passo 5

Agora, para encontrar a energia cinética média lang<= T rang<= = -12 lang<= V rang<= , vamos usar o Teorema do Virial. Para um sistema como o átomo de Hidrogênio, que tem uma interação do tipo Coulomb ( ), o teorema nos diz que:

Passo 6

Aplicando essa relação, a energia cinética média fica:
lang<= T rang<= = -12 ( -e^24pivarepsilon0 a0 ) = e^28pivarepsilon0 a0

Resposta

O valor esperado da energia potencial lang<= V rang<= = -e^24pivarepsilon0 a0 para o elétron no estado lang<= T rang<= = e^28pivarepsilon0 a0 é:
E o valor esperado da energia cinética é:

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