Na primeira parte, teremos apenas energia potencial e na segunda parte energia cinética de translação e rotação:
Isolando o momento de inércia teremos:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve energia potencial e energia cinética, tanto de translação quanto de rotação. O objetivo aqui é isolar o momento de inércia
na equação que relaciona essas energias. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre como a energia é convertida e como usamos as fórmulas de energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é energia potencial gravitacional. Ela é a energia que um objeto tem por estar em uma certa altura
em relação ao chão, e é dada por:
onde:
-
é a massa do objeto, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura.
Essa energia é inicialmente armazenada no objeto quando ele está na posição mais alta.
Passo 3
Agora, quando o objeto começa a descer, essa energia potencial se transforma em energia cinética de translação (movimento linear). A fórmula para essa energia é:
onde:
-
é a velocidade do centro de massa do objeto.
Isso representa a energia associada ao movimento direto do objeto para baixo.
Passo 4
Além da energia de translação, se o objeto está girando enquanto se move, também temos a energia cinética de rotação. Essa é dada por:
onde:
-
é o momento de inércia em relação ao centro de massa, -
é a velocidade angular.
Essa energia está relacionada à rotação do objeto ao redor do seu próprio eixo.
Passo 5
De acordo com a conservação de energia, a energia potencial inicial se transforma nas energias cinéticas de translação e rotação. Então, podemos igualar as duas expressões:
Nossa missão é isolar o momento de inércia
. Para isso, vamos resolver a equação para
.
Passo 6
Primeiro, multiplique todos os termos por 2 para eliminar as frações:
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
O momento de inércia
é dado por:
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.
Incline o plano com certo ângulo em relação à horizontal, esse ângulo deve em torno de
. Coloque o disco de inércia em repouso, na posição mais alta, para que ele possa se deslocar para baixo.