Calcule o valor da frequência para que , seja solução da equação do oscilador amortecido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a frequência de uma oscilação amortecida dada pela função . Isso faz parte do estudo de oscilações amortecidas na física. Para resolver isso, precisamos conhecer a equação do oscilador amortecido e saber como aplicar cálculo diferencial para verificar se a função é realmente uma solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação do oscilador amortecido. Ela geralmente é escrita como:
Aqui:
  • é a posição em função do tempo.
  • é a primeira derivada de em relação ao tempo (velocidade).
  • é a segunda derivada de em relação ao tempo (aceleração).
  • é o coeficiente de amortecimento.
  • é a frequência natural do sistema sem amortecimento.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas da função fornecida para substituir na equação do oscilador. A função é:
Primeiro, a primeira derivada :
Usando a regra do produto e a derivada da função cosseno, temos:
Em seguida, a segunda derivada :
Derivando novamente, obtemos:

Passo 4

Agora, vamos substituir , e na equação do oscilador amortecido:
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão agrupando os termos semelhantes:
  1. Termos com :
  1. Termos com :

Passo 6

Observamos que os termos com se cancelam:
Ficando apenas:

Passo 7

Para que essa equação seja válida para todo , o coeficiente de deve ser zero:
Simplificando:
Ou seja:

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

Então, a frequência que torna uma solução da equação do oscilador amortecido é:

Exercícios relacionados

Em um planeta distante, um ET quer medir a gravidade de seu planeta usando um pêndulo simples. Para tanto, ele observa que um pêndulo oscila com um período de 2 segundos, quando o comprimento da corda é . Quando este comprimento é aumentado de 50 cm , o período passa para 3 segundos. Determine o valor de e da gravidade do planeta. Considere que o pêndulo executa pequenas oscilações.
Um sistema massa-mola, de massa , constante elástica e comprimento natural , é disposto na vertical, sob ação da gravidade. Definindo a origem do sistema de coordenadas no teto (o a mola está presa) e orientando o eixo para baixo, calcule a posição e a frequência de oscilação.
Considere uma barra fina e homogênea de comprimento que pode girar livremente em torno de um pivô, o qual está a uma distância do centro de massa. No equilíbrio, a ação da gravidade faz com que a barra fique na vertical.
(a) Mostre que para pequenos deslocamentos em torno do equilíbrio a barra realiza um movimento harmônico simples e calcule seu período de oscilação. (b) Calcule o valor de para que a barra oscile com o mesmo período de um pêndulo simples de mesmo comprimento .
Um pêndulo físico composto por um disco homogênea de raio e pivotado na borda, oscila com amplitude de , sendo que no instante inicial o ponto de maior velocidade tangencial do disco possui velocidade tangencial de . Qual posição angular do pêndulo em função do tempo? Considere que ele oscila harmonicamente e que a aceleração da gravidade vale .