Calcule o valor da frequência
para que
, seja solução da equação do oscilador amortecido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a frequência
de uma oscilação amortecida dada pela função
. Isso faz parte do estudo de oscilações amortecidas na física. Para resolver isso, precisamos conhecer a equação do oscilador amortecido e saber como aplicar cálculo diferencial para verificar se a função
é realmente uma solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação do oscilador amortecido. Ela geralmente é escrita como:
Aqui:
-
é a posição em função do tempo. -
é a primeira derivada de em relação ao tempo (velocidade). -
é a segunda derivada de em relação ao tempo (aceleração). -
é o coeficiente de amortecimento. -
é a frequência natural do sistema sem amortecimento.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas da função
fornecida para substituir na equação do oscilador. A função é:
Primeiro, a primeira derivada
:
Usando a regra do produto e a derivada da função cosseno, temos:
Em seguida, a segunda derivada
:
Derivando novamente, obtemos:
Passo 4
Agora, vamos substituir
,
e
na equação do oscilador amortecido:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão agrupando os termos semelhantes:
- Termos com
:
- Termos com
:
Passo 6
Observamos que os termos com
se cancelam:
Ficando apenas:
Passo 7
Para que essa equação seja válida para todo
, o coeficiente de
deve ser zero:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
Então, a frequência
que torna
uma solução da equação do oscilador amortecido é:
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