Calcule o valor da frequência omega para que x(t)= A e^-gamma t cos (omega t+phi), gamma, seja solução da equação do oscilador amortecido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a frequência omega de uma oscilação amortecida dada pela função x(t) = A e^-gamma t cos (omega t + phi). Isso faz parte do estudo de oscilações amortecidas na física. Para resolver isso, precisamos conhecer a equação do oscilador amortecido e saber como aplicar cálculo diferencial para verificar se a função x(t) é realmente uma solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação do oscilador amortecido. Ela geralmente é escrita como:
x''(t) + 2gamma x'(t) + omega0^2 x(t) = 0
Aqui:
  • x(t) é a posição em função do tempo.
  • x'(t) é a primeira derivada de x(t) em relação ao tempo (velocidade).
  • x''(t) é a segunda derivada de x(t) em relação ao tempo (aceleração).
  • gamma é o coeficiente de amortecimento.
  • omega0 é a frequência natural do sistema sem amortecimento.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas da função x(t) fornecida para substituir na equação do oscilador. A função é:
x(t) = A e^-gamma t cos (omega t + phi)
Primeiro, a primeira derivada x'(t):
Usando a regra do produto e a derivada da função cosseno, temos:
x'(t) = -A gamma e^-gamma t cos (omega t + phi) - A omega e^-gamma t sin (omega t + phi)
Em seguida, a segunda derivada x''(t):
Derivando novamente, obtemos:
x''(t) = A gamma^2 e^-gamma t cos (omega t + phi) + 2 A gamma omega e^-gamma t sin (omega t + phi) - A omega^2 e^-gamma t cos (omega t + phi)

Passo 4

Agora, vamos substituir x(t), x'(t) e x''(t) na equação do oscilador amortecido:
x''(t) + 2gamma x'(t) + omega0^2 x(t) = 0
Substituindo as expressões que encontramos:
[A gamma^2 e^-gamma t cos (omega t + phi) + 2 A gamma omega e^-gamma t sin (omega t + phi) - A omega^2 e^-gamma t cos (omega t + phi)] + 2gamma [-A gamma e^-gamma t cos (omega t + phi) - A omega e^-gamma t sin (omega t + phi)] + omega0^2 [A e^-gamma t cos (omega t + phi)] = 0

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão agrupando os termos semelhantes:
  1. Termos com cos (omega t + phi):
A e^-gamma t cos (omega t + phi) (gamma^2 - omega^2 - 2gamma^2 + omega0^2)
  1. Termos com sin (omega t + phi):
A e^-gamma t sin (omega t + phi) (2gamma omega - 2gamma omega)

Passo 6

Observamos que os termos com sin (omega t + phi) se cancelam:
2gamma omega - 2gamma omega = 0
Ficando apenas:
A e^-gamma t cos (omega t + phi) (gamma^2 - omega^2 - 2gamma^2 + omega0^2) = 0

Passo 7

Para que essa equação seja válida para todo t, o coeficiente de cos (omega t + phi) deve ser zero:
gamma^2 - omega^2 - 2gamma^2 + omega0^2 = 0
Simplificando:
-omega^2 - gamma^2 + omega0^2 = 0
Ou seja:
omega^2 = omega0^2 - gamma^2

Passo 8

Finalmente, resolvemos para omega:
omega = raizomega0^2 - gamma^2

Resposta

Então, a frequência omega que torna x(t) = A e^-gamma t cos (omega t + phi) uma solução da equação do oscilador amortecido é:
omega = raizomega0^2 - gamma^2

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