Em um planeta distante, um ET quer medir a gravidade de seu planeta usando um pêndulo simples. Para tanto, ele observa que um pêndulo oscila com um período de 2 segundos, quando o comprimento da corda é
. Quando este comprimento é aumentado de 50 cm , o período passa para 3 segundos. Determine o valor de
e da gravidade
do planeta. Considere que o pêndulo executa pequenas oscilações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O ET quer medir a gravidade do planeta usando um pêndulo simples. Ele tem duas observações: quando o comprimento da corda é
, o período de oscilação é de 2 segundos, e quando aumenta esse comprimento em 50 cm, o período passa para 3 segundos. Nosso objetivo é descobrir o valor de
e da gravidade
do planeta. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do período do pêndulo e fazer umas contas legais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do período (
) de um pêndulo simples que faz pequenas oscilações:
Aqui,
é o período,
é o comprimento da corda e
é a aceleração da gravidade. Essa fórmula nos diz quanto tempo leva para o pêndulo completar uma oscilação completa.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula às duas situações que o ET observou. Para o primeiro caso:
E para o segundo caso, onde o comprimento aumenta 50 cm (ou 0,5 metros):
Passo 4
Vamos simplificar as duas equações. Primeiro, dividimos ambos os lados por
:
Isso fica:
Passo 5
Agora, vamos elevar ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz quadrada:
Simplificando:
Passo 6
Temos duas equações:
Vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Invertendo os lados:
Passo 8
Agora que temos
metros, vamos voltar à primeira equação para encontrar
:
Resolvendo para
:
Calculando:
Resposta
O comprimento da corda é
metros e a gravidade do planeta é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Um sistema massa-mola, de massa
, constante elástica
e comprimento natural
, é disposto na vertical, sob ação da gravidade. Definindo a origem do sistema de coordenadas no teto (o a mola está presa) e orientando o eixo para baixo, calcule a posição
e a frequência de oscilação.
Um sistema massa-mola é constituído de uma mola com constante elástica
e massa
. Em
o deslocamento do oscilador é de
e a velocidade de
. Encontre: (a) O período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento. (b) Posição, velocidade e aceleração em função do tempo.
Calcule o valor da frequência
para que
, seja solução da equação do oscilador amortecido.
Considere uma barra fina e homogênea de comprimento
que pode girar livremente em torno de um pivô, o qual está a uma distância
do centro de massa. No equilíbrio, a ação da gravidade faz com que a barra fique na vertical.
(a) Mostre que para pequenos deslocamentos em torno do equilíbrio a barra realiza um movimento harmônico simples e calcule seu período de oscilação. (b) Calcule o valor de para que a barra oscile com o mesmo período de um pêndulo simples de mesmo comprimento
.
(a) Mostre que para pequenos deslocamentos em torno do equilíbrio a barra realiza um movimento harmônico simples e calcule seu período de oscilação. (b) Calcule o valor de