Em um planeta distante, um ET quer medir a gravidade de seu planeta usando um pêndulo simples. Para tanto, ele observa que um pêndulo oscila com um período de 2 segundos, quando o comprimento da corda é L. Quando este comprimento é aumentado de 50 cm , o período passa para 3 segundos. Determine o valor de L e da gravidade g do planeta. Considere que o pêndulo executa pequenas oscilações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O ET quer medir a gravidade do planeta usando um pêndulo simples. Ele tem duas observações: quando o comprimento da corda é L, o período de oscilação é de 2 segundos, e quando aumenta esse comprimento em 50 cm, o período passa para 3 segundos. Nosso objetivo é descobrir o valor de L e da gravidade g do planeta. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do período do pêndulo e fazer umas contas legais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do período ( T) de um pêndulo simples que faz pequenas oscilações:
T = 2pi raizLg
Aqui, T é o período, L é o comprimento da corda e g é a aceleração da gravidade. Essa fórmula nos diz quanto tempo leva para o pêndulo completar uma oscilação completa.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula às duas situações que o ET observou. Para o primeiro caso:
2 = 2pi raizLg
E para o segundo caso, onde o comprimento aumenta 50 cm (ou 0,5 metros):
3 = 2pi raizL + 0.5g

Passo 4

Vamos simplificar as duas equações. Primeiro, dividimos ambos os lados por 2pi:
22pi = raizLg
32pi = raizL + 0.5g
Isso fica:
1pi = raizLg
32pi = raizL + 0.5g

Passo 5

Agora, vamos elevar ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz quadrada:
(1pi)^2 = Lg
(32pi)^2 = L + 0.5g
Simplificando:
1pi^2 = Lg
94pi^2 = L + 0.5g

Passo 6

Temos duas equações:
  1. g
  2. 94pi^21pi^2 = L + 0.5L
Vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar 94 = L + 0.5L :
Simplificando:

Passo 7

Agora, resolvemos para L:
94 = 1 + 0.5L
Subtraindo 1 de ambos os lados:
94 - 1 = 0.5L
54 = 0.5L
Invertendo os lados:
L = 0.5 times 45
L = 25
L = 0.4 metros

Passo 8

Agora que temos L = 0.4 metros, vamos voltar à primeira equação para encontrar g:
1pi^2 = 0.4g
Resolvendo para g:
g = 0.4 pi^2
Calculando:
g approx 0.4 times 9.8696
g approx 3.9478 m/s^2

Resposta

O comprimento da corda é L = 0.4 metros e a gravidade do planeta é aproximadamente g = 3.95, m/s^2.

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