Em um planeta distante, um ET quer medir a gravidade de seu planeta usando um pêndulo simples. Para tanto, ele observa que um pêndulo oscila com um período de 2 segundos, quando o comprimento da corda é . Quando este comprimento é aumentado de 50 cm , o período passa para 3 segundos. Determine o valor de e da gravidade do planeta. Considere que o pêndulo executa pequenas oscilações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O ET quer medir a gravidade do planeta usando um pêndulo simples. Ele tem duas observações: quando o comprimento da corda é , o período de oscilação é de 2 segundos, e quando aumenta esse comprimento em 50 cm, o período passa para 3 segundos. Nosso objetivo é descobrir o valor de e da gravidade do planeta. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do período do pêndulo e fazer umas contas legais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do período ( ) de um pêndulo simples que faz pequenas oscilações:
Aqui, é o período, é o comprimento da corda e é a aceleração da gravidade. Essa fórmula nos diz quanto tempo leva para o pêndulo completar uma oscilação completa.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula às duas situações que o ET observou. Para o primeiro caso:
E para o segundo caso, onde o comprimento aumenta 50 cm (ou 0,5 metros):

Passo 4

Vamos simplificar as duas equações. Primeiro, dividimos ambos os lados por :
Isso fica:

Passo 5

Agora, vamos elevar ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz quadrada:
Simplificando:

Passo 6

Temos duas equações:
Vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar :
Simplificando:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Invertendo os lados:

Passo 8

Agora que temos metros, vamos voltar à primeira equação para encontrar :
Resolvendo para :
Calculando:

Resposta

O comprimento da corda é metros e a gravidade do planeta é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Um sistema massa-mola, de massa , constante elástica e comprimento natural , é disposto na vertical, sob ação da gravidade. Definindo a origem do sistema de coordenadas no teto (o a mola está presa) e orientando o eixo para baixo, calcule a posição e a frequência de oscilação.
Um sistema massa-mola é constituído de uma mola com constante elástica e massa . Em o deslocamento do oscilador é de e a velocidade de . Encontre: (a) O período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento. (b) Posição, velocidade e aceleração em função do tempo.
Calcule o valor da frequência para que , seja solução da equação do oscilador amortecido.
Considere uma barra fina e homogênea de comprimento que pode girar livremente em torno de um pivô, o qual está a uma distância do centro de massa. No equilíbrio, a ação da gravidade faz com que a barra fique na vertical.
(a) Mostre que para pequenos deslocamentos em torno do equilíbrio a barra realiza um movimento harmônico simples e calcule seu período de oscilação. (b) Calcule o valor de para que a barra oscile com o mesmo período de um pêndulo simples de mesmo comprimento .