Um sistema massa-mola, de massa
, constante elástica
e comprimento natural
, é disposto na vertical, sob ação da gravidade. Definindo a origem do sistema de coordenadas no teto (o a mola está presa) e orientando o eixo para baixo, calcule a posição
e a frequência de oscilação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um sistema massa-mola na vertical. A gente vai precisar usar conceitos de dinâmica de sistemas oscilatórios, incluindo a segunda lei de Newton e a fórmula para a frequência de oscilações. Nosso objetivo é encontrar a posição
da massa ao longo do tempo e a frequência com que ela oscila.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na massa. Temos a força da mola, que segue a lei de Hooke:
, onde
é a constante elástica da mola e
é o deslocamento da posição de equilíbrio. Também temos a força da gravidade, que é
, onde
é a massa e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
No ponto de equilíbrio, essas duas forças se equilibram. Então, podemos escrever:
Resolvendo para
:
Esse
é a posição de equilíbrio onde a mola está esticada pela força da gravidade.
Passo 4
Agora, vamos considerar pequenos deslocamentos ao redor desse ponto de equilíbrio. A equação do movimento é dada pela segunda lei de Newton:
Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação diferencial para um movimento harmônico simples.
Passo 5
A solução geral dessa equação é:
Onde
é a frequência angular das oscilações, e
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 6
Para simplificar, podemos escrever a solução como:
onde
é a amplitude das oscilações e
é a fase inicial. Isso nos dá a posição da massa em função do tempo.
Passo 7
A frequência de oscilação
está relacionada com a frequência angular
pela fórmula:
Essa é a frequência com que a massa oscila para cima e para baixo em torno da posição de equilíbrio.
Resposta
A posição da massa em função do tempo é
e a frequência de oscilação é