Um sistema massa-mola, de massa m, constante elástica k e comprimento natural l0, é disposto na vertical, sob ação da gravidade. Definindo a origem do sistema de coordenadas no teto (o a mola está presa) e orientando o eixo para baixo, calcule a posição x(t) e a frequência de oscilação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um sistema massa-mola na vertical. A gente vai precisar usar conceitos de dinâmica de sistemas oscilatórios, incluindo a segunda lei de Newton e a fórmula para a frequência de oscilações. Nosso objetivo é encontrar a posição da massa ao longo do tempo e a frequência com que ela oscila.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na massa. Temos a força da mola, que segue a lei de Hooke: , onde é a constante elástica da mola e é o deslocamento da posição de equilíbrio. Também temos a força da gravidade, que é , onde é a massa e é a aceleração da gravidade.

Passo 3

No ponto de equilíbrio, essas duas forças se equilibram. Então, podemos escrever:
-k cdot xeq + m cdot g = 0
Resolvendo para xeq = m cdot gk :
Esse é a posição de equilíbrio onde a mola está esticada pela força da gravidade.

Passo 4

Agora, vamos considerar pequenos deslocamentos ao redor desse ponto de equilíbrio. A equação do movimento é dada pela segunda lei de Newton:
m cdot d^2xdt^2 = -k cdot (x - xeq)
Podemos reescrever isso como:
d^2xdt^2 + km cdot (x - xeq) = 0
Essa é uma equação diferencial para um movimento harmônico simples.

Passo 5

A solução geral dessa equação é:
x(t) = A cdot cos(omega t) + B cdot sin(omega t) + xeq
Onde é a frequência angular das oscilações, e e são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 6

Para simplificar, podemos escrever a solução como:
x(t) = xeq + C cdot cos(omega t + phi)
onde é a amplitude das oscilações e é a fase inicial. Isso nos dá a posição da massa em função do tempo.

Passo 7

A frequência de oscilação f = omega2pi = 12pi raizkm está relacionada com a frequência angular pela fórmula:
Essa é a frequência com que a massa oscila para cima e para baixo em torno da posição de equilíbrio.

Resposta

A posição da massa em função do tempo é
x(t) = m cdot gk + C cdot cos(raizkm , t + phi)
e a frequência de oscilação é
f = 12pi raizkm

Exercícios relacionados