Um sistema massa-mola, de massa , constante elástica e comprimento natural , é disposto na vertical, sob ação da gravidade. Definindo a origem do sistema de coordenadas no teto (o a mola está presa) e orientando o eixo para baixo, calcule a posição e a frequência de oscilação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um sistema massa-mola na vertical. A gente vai precisar usar conceitos de dinâmica de sistemas oscilatórios, incluindo a segunda lei de Newton e a fórmula para a frequência de oscilações. Nosso objetivo é encontrar a posição da massa ao longo do tempo e a frequência com que ela oscila.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na massa. Temos a força da mola, que segue a lei de Hooke: , onde é a constante elástica da mola e é o deslocamento da posição de equilíbrio. Também temos a força da gravidade, que é , onde é a massa e é a aceleração da gravidade.

Passo 3

No ponto de equilíbrio, essas duas forças se equilibram. Então, podemos escrever:
Resolvendo para :
Esse é a posição de equilíbrio onde a mola está esticada pela força da gravidade.

Passo 4

Agora, vamos considerar pequenos deslocamentos ao redor desse ponto de equilíbrio. A equação do movimento é dada pela segunda lei de Newton:
Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação diferencial para um movimento harmônico simples.

Passo 5

A solução geral dessa equação é:
Onde é a frequência angular das oscilações, e e são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 6

Para simplificar, podemos escrever a solução como:
onde é a amplitude das oscilações e é a fase inicial. Isso nos dá a posição da massa em função do tempo.

Passo 7

A frequência de oscilação está relacionada com a frequência angular pela fórmula:
Essa é a frequência com que a massa oscila para cima e para baixo em torno da posição de equilíbrio.

Resposta

A posição da massa em função do tempo é
e a frequência de oscilação é

Exercícios relacionados

Um sistema massa-mola é constituído de uma mola com constante elástica e massa . Em o deslocamento do oscilador é de e a velocidade de . Encontre: (a) O período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento. (b) Posição, velocidade e aceleração em função do tempo.
Seja a posição do OHS dada por . Obtenha o parâmetro e o ângulo de fase em função das condições iniciais e .
Em um planeta distante, um ET quer medir a gravidade de seu planeta usando um pêndulo simples. Para tanto, ele observa que um pêndulo oscila com um período de 2 segundos, quando o comprimento da corda é . Quando este comprimento é aumentado de 50 cm , o período passa para 3 segundos. Determine o valor de e da gravidade do planeta. Considere que o pêndulo executa pequenas oscilações.
Calcule o valor da frequência para que , seja solução da equação do oscilador amortecido.