Um pêndulo físico composto por um disco homogênea de raio e pivotado na borda, oscila com amplitude de , sendo que no instante inicial o ponto de maior velocidade tangencial do disco possui velocidade tangencial de . Qual posição angular do pêndulo em função do tempo? Considere que ele oscila harmonicamente e que a aceleração da gravidade vale .

Passo 1

Beleza, então temos um pêndulo físico que é basicamente um disco homogêneo com raio m, pivotado na borda. Ele está oscilando com uma amplitude de radianos. No instante inicial, o ponto do disco que tem a maior velocidade tangencial está se movendo a m/s. Nosso objetivo é encontrar a posição angular desse pêndulo em função do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples aplicado a pêndulos físicos, além de conhecer como calcular o momento de inércia de um disco e aplicar a segunda lei de Newton para rotações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que o movimento é harmônico simples (MHS). No MHS, a posição angular pode ser descrita pela equação:
onde é a amplitude máxima, é a frequência angular, e é a fase inicial.

Passo 3

Precisamos encontrar , a frequência angular. Para um pêndulo físico, é dada por:
onde:
  • é a massa,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o comprimento eficaz,
  • é o momento de inércia.

Passo 4

No nosso caso, como o pêndulo é um disco homogêneo pivotado na borda, o momento de inércia é:
A primeira parte é o momento de inércia do disco em si, e é o termo adicional pelo teorema de Steiner (translação).

Passo 5

O comprimento eficaz para um pêndulo físico é a distância do pivot ao centro de massa. Para um disco pivotado na borda, isso é igual ao raio :

Passo 6

Agora, substituindo e na fórmula de :
Aqui, simplificamos .

Passo 7

Vamos calcular com e :

Passo 8

Agora, precisamos determinar a fase inicial . Sabemos que no instante inicial ( ), a velocidade angular máxima é . A relação entre velocidade tangencial e velocidade angular é:
Onde é a derivada de , ou seja, a velocidade angular.

Passo 9

A velocidade máxima ocorre quando cruza a posição de equilíbrio, ou seja, quando . Então, a velocidade máxima é:
Dado que , temos:
Substituindo e :
Simplificando:
Mas isso não faz sentido, então percebi que há um erro aqui. Vamos corrigir.

Passo 10

Na verdade, a velocidade tangencial está relacionada à derivada de :
Onde é a velocidade angular. Então, a velocidade angular máxima é:
E sabemos que, para o MHS:
Então:
Substituindo :
Simplificando:
Ainda há inconsistência. Parece que precisamos reavaliar a abordagem para encontrar .

Passo 11

Vamos reconsiderar a forma da função . Sabemos que no instante inicial ( ):
  • A posição angular é .
  • A velocidade angular é .
Mas, de acordo com o enunciado, no instante inicial, o ponto tem a maior velocidade tangencial, o que indica que e .
Portanto, a equação correta deve ser:
E no :
E
Para que , ou . Para que seja negativo, .

Passo 12

Assim, a equação fica:
Substituindo os valores:

Resposta

A posição angular do pêndulo em função do tempo é:

Exercícios relacionados

Considere uma barra fina e homogênea de comprimento que pode girar livremente em torno de um pivô, o qual está a uma distância do centro de massa. No equilíbrio, a ação da gravidade faz com que a barra fique na vertical.
(a) Mostre que para pequenos deslocamentos em torno do equilíbrio a barra realiza um movimento harmônico simples e calcule seu período de oscilação. (b) Calcule o valor de para que a barra oscile com o mesmo período de um pêndulo simples de mesmo comprimento .
Calcule o valor da frequência para que , seja solução da equação do oscilador amortecido.
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Um oscilador fracamente amortecido possui massa , coeficiente de amortecimento e frequência (angular) natural . Se ele parte da origem (posição de equilíbrio), com velocidade de , calcule sua posição em função do tempo.