Um pêndulo físico composto por um disco homogênea de raio 3 / 4 m e pivotado na borda, oscila com amplitude de 1raiz20 rad, sendo que no instante inicial o ponto de maior velocidade tangencial do disco possui velocidade tangencial de -1 m / s. Qual posição angular do pêndulo em função do tempo? Considere que ele oscila harmonicamente e que a aceleração da gravidade vale 10 m / s^2.

Passo 1

Beleza, então temos um pêndulo físico que é basicamente um disco homogêneo com raio m, pivotado na borda. Ele está oscilando com uma amplitude de radianos. No instante inicial, o ponto do disco que tem a maior velocidade tangencial está se movendo a m/s. Nosso objetivo é encontrar a posição angular desse pêndulo em função do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples aplicado a pêndulos físicos, além de conhecer como calcular o momento de inércia de um disco e aplicar a segunda lei de Newton para rotações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que o movimento é harmônico simples (MHS). No MHS, a posição angular theta(t) = thetamax cos(omega t + phi) pode ser descrita pela equação:
onde é a amplitude máxima, é a frequência angular, e é a fase inicial.

Passo 3

Precisamos encontrar omega = raizm g leffI , a frequência angular. Para um pêndulo físico, é dada por:
onde:
  • é a massa,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o comprimento eficaz,
  • é o momento de inércia.

Passo 4

No nosso caso, como o pêndulo é um disco homogêneo pivotado na borda, o momento de inércia I = 12 m r^2 + m r^2 = 32 m r^2 é:
A primeira parte é o momento de inércia do disco em si, e é o termo adicional pelo teorema de Steiner (translação).

Passo 5

O comprimento eficaz leff = r = 34 , m para um pêndulo físico é a distância do pivot ao centro de massa. Para um disco pivotado na borda, isso é igual ao raio :

Passo 6

Agora, substituindo omega = raizg leffI/m = raizg r32 r^2 = raiz2g3r e na fórmula de :
Aqui, simplificamos .

Passo 7

Vamos calcular omega = raiz2 times 103 times 34 = raiz2094 = raiz809 = 4 raiz53 , rad/s com e :

Passo 8

Agora, precisamos determinar a fase inicial v = omega r theta' . Sabemos que no instante inicial ( ), a velocidade angular máxima é . A relação entre velocidade tangencial e velocidade angular é:
Onde é a derivada de , ou seja, a velocidade angular.

Passo 9

A velocidade máxima ocorre quando vmax = omega thetamax cruza a posição de equilíbrio, ou seja, quando -1 = omega thetamax r . Então, a velocidade máxima é:
-1 = 4 raiz53 times 1raiz20 times 34
Dado que -1 = 4 raiz53 times 1raiz20 times 34 = raiz5raiz20 = raiz52 raiz5 = 12 , temos:
Substituindo e :
Simplificando:
Mas isso não faz sentido, então percebi que há um erro aqui. Vamos corrigir.

Passo 10

Na verdade, a velocidade tangencial v = r theta'(t) está relacionada à derivada de theta'max = vmaxr = -134 = -43 , rad/s :
theta'max = omega thetamax
Onde -43 = omega thetamax é a velocidade angular. Então, a velocidade angular máxima é:
-43 = 4 raiz53 times 1raiz20
E sabemos que, para o MHS:
-43 = 4 raiz53 times 12 raiz5 = 43 times 12 = 23
Então:
Substituindo :
Simplificando:
Ainda há inconsistência. Parece que precisamos reavaliar a abordagem para encontrar .

Passo 11

Vamos reconsiderar a forma da função theta(t) = thetamax sin(omega t + phi) . Sabemos que no instante inicial ( 0 = thetamax sin(phi) ):
  • A posição angular é theta'(0) = thetamax omega cos(phi) = -43 .
  • A velocidade angular é .
Mas, de acordo com o enunciado, no instante inicial, o ponto tem a maior velocidade tangencial, o que indica que e .
Portanto, a equação correta deve ser:
E no :
E
Para que , ou . Para que seja negativo, .

Passo 12

Assim, a equação fica:
theta(t) = thetamax sin(omega t + pi) = -thetamax sin(omega t)
Substituindo os valores:
theta(t) = -1raiz20 sin(4 raiz53 t)

Resposta

A posição angular do pêndulo em função do tempo é:
theta(t) = -1raiz20 sin(4 raiz53 t) , rad

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