Um pêndulo físico composto por um disco homogênea de raio
e pivotado na borda, oscila com amplitude de
, sendo que no instante inicial o ponto de maior velocidade tangencial do disco possui velocidade tangencial de
. Qual posição angular do pêndulo em função do tempo? Considere que ele oscila harmonicamente e que a aceleração da gravidade vale
.
Passo 1
Beleza, então temos um pêndulo físico que é basicamente um disco homogêneo com raio
m, pivotado na borda. Ele está oscilando com uma amplitude de
radianos. No instante inicial, o ponto do disco que tem a maior velocidade tangencial está se movendo a
m/s. Nosso objetivo é encontrar a posição angular desse pêndulo em função do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples aplicado a pêndulos físicos, além de conhecer como calcular o momento de inércia de um disco e aplicar a segunda lei de Newton para rotações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que o movimento é harmônico simples (MHS). No MHS, a posição angular
pode ser descrita pela equação:
onde
é a amplitude máxima,
é a frequência angular, e
é a fase inicial.
Passo 3
Precisamos encontrar
, a frequência angular. Para um pêndulo físico,
é dada por:
onde:
-
é a massa, -
é a aceleração da gravidade, -
é o comprimento eficaz, -
é o momento de inércia.
Passo 4
No nosso caso, como o pêndulo é um disco homogêneo pivotado na borda, o momento de inércia
é:
A primeira parte
é o momento de inércia do disco em si, e
é o termo adicional pelo teorema de Steiner (translação).
Passo 5
O comprimento eficaz
para um pêndulo físico é a distância do pivot ao centro de massa. Para um disco pivotado na borda, isso é igual ao raio
:
Passo 6
Agora, substituindo
e
na fórmula de
:
Aqui, simplificamos
.
Passo 7
Vamos calcular
com
e
:
Passo 8
Agora, precisamos determinar a fase inicial
. Sabemos que no instante inicial (
), a velocidade angular máxima
é
. A relação entre velocidade tangencial
e velocidade angular
é:
Onde
é a derivada de
, ou seja, a velocidade angular.
Passo 9
A velocidade máxima ocorre quando
cruza a posição de equilíbrio, ou seja, quando
. Então, a velocidade máxima é:
Dado que
, temos:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Mas isso não faz sentido, então percebi que há um erro aqui. Vamos corrigir.
Passo 10
Na verdade, a velocidade tangencial
está relacionada à derivada de
:
Onde
é a velocidade angular. Então, a velocidade angular máxima é:
E sabemos que, para o MHS:
Então:
Substituindo
:
Simplificando:
Ainda há inconsistência. Parece que precisamos reavaliar a abordagem para encontrar
.
Passo 11
Vamos reconsiderar a forma da função
. Sabemos que no instante inicial (
):
- A posição angular é
. - A velocidade angular é
.
Mas, de acordo com o enunciado, no instante inicial, o ponto tem a maior velocidade tangencial, o que indica que
e
.
Portanto, a equação correta deve ser:
E no
:
E
Para que
,
ou
. Para que
seja negativo,
.
Passo 12
Assim, a equação fica:
Substituindo os valores:
Resposta
A posição angular do pêndulo em função do tempo é: