Considere uma barra fina e homogênea de comprimento
que pode girar livremente em torno de um pivô, o qual está a uma distância
do centro de massa. No equilíbrio, a ação da gravidade faz com que a barra fique na vertical.
(a) Mostre que para pequenos deslocamentos em torno do equilíbrio a barra realiza um movimento harmônico simples e calcule seu período de oscilação. (b) Calcule o valor de
para que a barra oscile com o mesmo período de um pêndulo simples de mesmo comprimento
.
(a) Mostre que para pequenos deslocamentos em torno do equilíbrio a barra realiza um movimento harmônico simples e calcule seu período de oscilação. (b) Calcule o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma barra fina e homogênea de comprimento
que pode girar livremente em torno de um pivô localizado a uma distância
do centro de massa. No equilíbrio, a força da gravidade faz a barra ficar na vertical. Nosso objetivo é:
(a) Mostrar que, para pequenos deslocamentos, a barra faz um movimento harmônico simples e calcular seu período de oscilação.
(b) Calcular o valor de
para que a barra oscile com o mesmo período de um pêndulo simples de mesmo comprimento
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque, momento de inércia e movimento harmônico simples.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Primeiro, precisamos determinar o torque que a gravidade exerce na barra quando ela é deslocada levemente da posição vertical.
Torque (
) é dado por:
Onde:
-
é a massa da barra, -
é a aceleração da gravidade, -
é a distância do pivô ao centro de massa, -
é o pequeno ângulo de deslocamento.
A barra vai oscilar como um movimento harmônico simples se a força restauradora for proporcional ao deslocamento, o que é o caso aqui.
Passo 3
Agora, precisamos do momento de inércia (
) da barra em relação ao pivô. Para uma barra fina girando em torno de um ponto a uma distância
do centro de massa, o momento de inércia é:
Onde
é o momento de inércia da barra em relação ao seu centro de massa.
Passo 4
Usando a segunda lei de Newton para rotação:
Onde
é a aceleração angular. Substituindo o torque e o momento de inércia:
Como
, temos a equação diferencial:
Isso é a equação de um movimento harmônico simples, onde a frequência angular
é:
Passo 5
O período
do movimento é relacionado à frequência angular por:
Esse é o período de oscilação da barra para pequenos deslocamentos.
Passo 6
Agora, na parte (b), queremos que o período da barra seja igual ao período de um pêndulo simples de mesmo comprimento
. O período do pêndulo simples é:
Então, igualamos os dois períodos:
Podemos simplificar eliminando
e
:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Passo 7
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Simplificando o discriminante:
Então:
Considerando apenas a solução positiva:
Resposta
(a) Para pequenos deslocamentos, a barra realiza um movimento harmônico simples com período de oscilação:
(b) O valor de
para que a barra oscile com o mesmo período de um pêndulo simples de comprimento
é aproximadamente: