Considere uma barra fina e homogênea de comprimento L que pode girar livremente em torno de um pivô, o qual está a uma distância h do centro de massa. No equilíbrio, a ação da gravidade faz com que a barra fique na vertical.
(a) Mostre que para pequenos deslocamentos em torno do equilíbrio a barra realiza um movimento harmônico simples e calcule seu período de oscilação. (b) Calcule o valor de h para que a barra oscile com o mesmo período de um pêndulo simples de mesmo comprimento L.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma barra fina e homogênea de comprimento que pode girar livremente em torno de um pivô localizado a uma distância do centro de massa. No equilíbrio, a força da gravidade faz a barra ficar na vertical. Nosso objetivo é:
(a) Mostrar que, para pequenos deslocamentos, a barra faz um movimento harmônico simples e calcular seu período de oscilação.
(b) Calcular o valor de para que a barra oscile com o mesmo período de um pêndulo simples de mesmo comprimento .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque, momento de inércia e movimento harmônico simples.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Primeiro, precisamos determinar o torque que a gravidade exerce na barra quando ela é deslocada levemente da posição vertical.
Torque ( tau = -m g d theta ) é dado por:
Onde:
  • é a massa da barra,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a distância do pivô ao centro de massa,
  • é o pequeno ângulo de deslocamento.
A barra vai oscilar como um movimento harmônico simples se a força restauradora for proporcional ao deslocamento, o que é o caso aqui.

Passo 3

Agora, precisamos do momento de inércia ( I = Icm + m h^2 = 112 m L^2 + m h^2 ) da barra em relação ao pivô. Para uma barra fina girando em torno de um ponto a uma distância do centro de massa, o momento de inércia é:
Onde é o momento de inércia da barra em relação ao seu centro de massa.

Passo 4

Usando a segunda lei de Newton para rotação:
tau = I alpha
Onde - m g h theta = ( 112 m L^2 + m h^2 ) alpha é a aceleração angular. Substituindo o torque e o momento de inércia:
d^2 thetadt^2 + g h112 L^2 + h^2 theta = 0
Como omega = raiz g h112 L^2 + h^2 , temos a equação diferencial:
Isso é a equação de um movimento harmônico simples, onde a frequência angular é:

Passo 5

O período T = 2piomega = 2pi raiz 112 L^2 + h^2g h do movimento é relacionado à frequência angular por:
Esse é o período de oscilação da barra para pequenos deslocamentos.

Passo 6

Agora, na parte (b), queremos que o período da barra seja igual ao período de um pêndulo simples de mesmo comprimento Tpêndulo = 2pi raiz Lg . O período do pêndulo simples é:
2pi raiz 112 L^2 + h^2g h = 2pi raiz Lg ê
Então, igualamos os dois períodos:
raiz 112 L^2 + h^2h = raizL
Podemos simplificar eliminando 112 L^2 + h^2h = L e 112 L^2 + h^2 = L h :
h^2 - L h + 112 L^2 = 0
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:

Passo 7

Resolvendo essa equação quadrática para h = L pm raizL^2 - 4 cdot 1 cdot 112 L^22 :
raizL^2 - 13 L^2 = raiz 23 L^2 = L raiz 23
Simplificando o discriminante:
h = L pm L raiz 23 2 = L2 (1 pm raiz 23 )
Então:
h = L2 (1 + raiz 23 ) approx 0,79 L
Considerando apenas a solução positiva:

Resposta

(a) Para pequenos deslocamentos, a barra realiza um movimento harmônico simples com período de oscilação:
T = 2pi raiz 112 L^2 + h^2g h
(b) O valor de h approx 0,79 , L para que a barra oscile com o mesmo período de um pêndulo simples de comprimento é aproximadamente:

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