Calcule o valor das integrais impróprias
integral1^+infty 1x^p dx
dada a condição de p > 1 ou p <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede para calcular a integral de de 1 até o infinito, e analisar o que acontece quando ou . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, para entender se a integral converge ou diverge e qual é o seu valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou onde a função a ser integrada tem uma descontinuidade no intervalo. No nosso caso, o limite superior é , então estamos lidando com uma integral imprópria por esse motivo.

Passo 3

Para resolver essa integral, precisamos calcular o limite quando integral1^+infty 1x^p dx = limb to +infty integral1^b 1x^p dx tende ao infinito da integral definida de 1 até de . Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida integral x^n dx = x^n+1n+1 + C . Sabemos que:
integral 1x^p dx = integral x^-p dx = x^-p + 1-p + 1 + C = x^1 - p1 - p + C
Nesse caso, , então a integral fica:

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 1 até integral1^b 1x^p dx = [ x^1 - p1 - p ]1^b = b^1 - p1 - p - 1^1 - p1 - p :
b^1 - p - 11 - p
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando limb to +infty b^1 - p - 11 - p tende ao infinito:
Para isso, precisamos analisar o comportamento de quando vai para o infinito, dependendo do valor de .

Passo 7

Vamos considerar dois casos:
  1. Quando limb to +infty 0 - 11 - p = -11 - p = 1p - 1 :
    Aqui, 1 - 10 que é indefinido, indicando que a integral diver>= , então limb to +infty infty - 11 - p = +infty tende a zero quando . Assim:
  2. Quando :
    Neste caso, . Se , temos , então o limite fica:
    é
    Se , , então tende ao infinito, e:
    Portanto, a integral também diverge nesse caso.

Resposta

A integral converge para quando e diverge quando .

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