Calcule o valor das integrais impróprias
dada a condição de ou .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede para calcular a integral de de 1 até o infinito, e analisar o que acontece quando ou . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, para entender se a integral converge ou diverge e qual é o seu valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou onde a função a ser integrada tem uma descontinuidade no intervalo. No nosso caso, o limite superior é , então estamos lidando com uma integral imprópria por esse motivo.

Passo 3

Para resolver essa integral, precisamos calcular o limite quando tende ao infinito da integral definida de 1 até de . Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida . Sabemos que:
Nesse caso, , então a integral fica:

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 1 até :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Para isso, precisamos analisar o comportamento de quando vai para o infinito, dependendo do valor de .

Passo 7

Vamos considerar dois casos:
  1. Quando :
    Aqui, , então tende a zero quando . Assim:
  2. Quando :
    Neste caso, . Se , temos , então o limite fica:
    é
    Se , , então tende ao infinito, e:
    Portanto, a integral também diverge nesse caso.

Resposta

A integral converge para quando e diverge quando .

Exercícios relacionados

Exemplo 04: Prove que a seguinte transformação não altera a integral:
onde é a mudança de variável.
Determine a transformada de Laplace da seguinte função:
e a série Maclaurin de para mostrar que
Considere:
Determine seu valor usando o método de um círculo.