Calcule o valor das integrais impróprias
dada a condição de
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
de 1 até o infinito, e analisar o que acontece quando
ou
. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, para entender se a integral converge ou diverge e qual é o seu valor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou onde a função a ser integrada tem uma descontinuidade no intervalo. No nosso caso, o limite superior é
, então estamos lidando com uma integral imprópria por esse motivo.
Passo 3
Para resolver essa integral, precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito da integral definida de 1 até
de
. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida
. Sabemos que:
Nesse caso,
, então a integral fica:
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 1 até
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Para isso, precisamos analisar o comportamento de
quando
vai para o infinito, dependendo do valor de
.
Passo 7
Vamos considerar dois casos:
-
Quando
: Aqui,, então tende a zero quando . Assim: -
Quando
: Neste caso,. Se , temos , então o limite fica: Se, , então tende ao infinito, e: Portanto, a integral também diverge nesse caso.
Resposta
A integral
converge para
quando
e diverge quando
.
Exercícios relacionados
Exemplo 04: Prove que a seguinte transformação não altera a integral:
onde
é a mudança de variável.
Determine a transformada de Laplace da seguinte função:
e a série Maclaurin de
para mostrar que
Considere:
Determine seu valor usando o método de um círculo.