Determine a transformada de Laplace da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função
. Vamos trabalhar com o conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente aplicando propriedades relacionadas a funções exponenciais, funções trigonométricas e o tempo multiplicador
. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da transformada de Laplace para
e a propriedade que lida com multiplicação por
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula básica da transformada de Laplace para a função
. A transformada de Laplace dessa função é dada por:
Aqui,
e
na nossa função
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 3
Agora, precisamos lidar com o
que está multiplicando a função
. Existe uma propriedade da transformada de Laplace que nos ajuda com isso:
Isso significa que a transformada de
é igual à derivada negativa da transformada de
em relação a
.
Passo 4
Aplicando essa propriedade, vamos derivar a transformada que encontramos no Passo 2 em relação a
:
Vamos fazer essa derivada passo a passo. Primeiro, reescrevemos a expressão para facilitar a diferenciação:
Aplicamos a regra da cadeia para derivar:
Simplificando:
Passo 5
Lembrando que a propriedade dizia para multiplicar por
, então:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
Exercícios relacionados
Exemplo 02: Em um encontro anterior, resolvemos a integral
Utilizando a técnica de substituição, calcule a integral indefinida apresentada.
Explique por que a integral dada a seguir é imprópria. Em seguida, use uma substituição trigonométrica adequada para determinar se
é convergente ou divergente.
Exemplo 04: Prove que a seguinte transformação não altera a integral:
onde
é a mudança de variável.
Calcule o valor das integrais impróprias
dada a condição de
ou
.