Determine a transformada de Laplace da seguinte função:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função . Vamos trabalhar com o conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente aplicando propriedades relacionadas a funções exponenciais, funções trigonométricas e o tempo multiplicador . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da transformada de Laplace para e a propriedade que lida com multiplicação por .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula básica da transformada de Laplace para a função . A transformada de Laplace dessa função é dada por:
Aqui, e na nossa função . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 3

Agora, precisamos lidar com o que está multiplicando a função . Existe uma propriedade da transformada de Laplace que nos ajuda com isso:
Isso significa que a transformada de é igual à derivada negativa da transformada de em relação a .

Passo 4

Aplicando essa propriedade, vamos derivar a transformada que encontramos no Passo 2 em relação a :
Vamos fazer essa derivada passo a passo. Primeiro, reescrevemos a expressão para facilitar a diferenciação:
Aplicamos a regra da cadeia para derivar:
Simplificando:

Passo 5

Lembrando que a propriedade dizia para multiplicar por , então:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Exemplo 02: Em um encontro anterior, resolvemos a integral
Utilizando a técnica de substituição, calcule a integral indefinida apresentada.
Explique por que a integral dada a seguir é imprópria. Em seguida, use uma substituição trigonométrica adequada para determinar se
é convergente ou divergente.
Exemplo 04: Prove que a seguinte transformação não altera a integral:
onde é a mudança de variável.
Calcule o valor das integrais impróprias
dada a condição de ou .