Exemplo 04: Prove que a seguinte transformação não altera a integral:
onde
é a mudança de variável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que, ao fazer uma mudança de variável na integral, o resultado final não muda. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a mudança de variável e aplicar a regra da substituição nas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma mudança de variável na integral. Quando temos uma integral complicada, às vezes é mais fácil dela se a gente trocar a variável por outra que simplifique a expressão. Nesse caso, temos
, onde
e
são constantes.
Passo 3
Agora, precisamos descobrir como
se relaciona com
. Para isso, derivamos
em relação a
:
Dessa equação, podemos isolar
:
Passo 4
Com a expressão de
em termos de
, vamos substituir na integral original:
Aqui, tiramos o
de fora porque é uma constante em relaç��o à integração.
Passo 5
Agora, vamos considerar o valor absoluto de
na expressão final. Se
for negativo, a integral terá um sinal invertido. Para garantir que a integral permaneça positiva (ou que consideremos a orientação correta), usamos o valor absoluto de
:
Na prática, isso assegura que a transformação não altera o valor da integral em termos de magnitude, independentemente do sinal de
.
Resposta
Portanto, provamos que:
Essa transformação de variável não altera o valor da integral, apenas ajusta a escala pela constante
.
Exercícios relacionados
Determine a transformada de Laplace da seguinte função:
Exemplo 02: Em um encontro anterior, resolvemos a integral
Utilizando a técnica de substituição, calcule a integral indefinida apresentada.
Calcule o valor das integrais impróprias
dada a condição de
ou
.
e a série Maclaurin de
para mostrar que