Exemplo 04: Prove que a seguinte transformação não altera a integral:
onde é a mudança de variável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que, ao fazer uma mudança de variável na integral, o resultado final não muda. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a mudança de variável e aplicar a regra da substituição nas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma mudança de variável na integral. Quando temos uma integral complicada, às vezes é mais fácil dela se a gente trocar a variável por outra que simplifique a expressão. Nesse caso, temos , onde e são constantes.

Passo 3

Agora, precisamos descobrir como se relaciona com . Para isso, derivamos em relação a :
Dessa equação, podemos isolar :

Passo 4

Com a expressão de em termos de , vamos substituir na integral original:
Aqui, tiramos o de fora porque é uma constante em relaç��o à integração.

Passo 5

Agora, vamos considerar o valor absoluto de na expressão final. Se for negativo, a integral terá um sinal invertido. Para garantir que a integral permaneça positiva (ou que consideremos a orientação correta), usamos o valor absoluto de :
Na prática, isso assegura que a transformação não altera o valor da integral em termos de magnitude, independentemente do sinal de .

Resposta

Portanto, provamos que:
Essa transformação de variável não altera o valor da integral, apenas ajusta a escala pela constante .

Exercícios relacionados

Determine a transformada de Laplace da seguinte função:
Exemplo 02: Em um encontro anterior, resolvemos a integral
Utilizando a técnica de substituição, calcule a integral indefinida apresentada.
Calcule o valor das integrais impróprias
dada a condição de ou .
e a série Maclaurin de para mostrar que