Exemplo 04: Prove que a seguinte transformação não altera a integral:
integral f(ax+b) dx = 1|a| integral f(u) du
onde u = ax+b é a mudança de variável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que, ao fazer uma mudança de variável na integral, o resultado final não muda. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a mudança de variável e aplicar a regra da substituição nas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma mudança de variável na integral. Quando temos uma integral complicada, às vezes é mais fácil dela se a gente trocar a variável por outra que simplifique a expressão. Nesse caso, temos , onde e são constantes.

Passo 3

Agora, precisamos descobrir como dudx = a Rightarrow du = a , dx se relaciona com dx = dua . Para isso, derivamos em relação a :
Dessa equação, podemos isolar :

Passo 4

Com a expressão de integral f(ax + b) , dx = integral f(u) cdot dua = 1a integral f(u) , du em termos de , vamos substituir na integral original:
Aqui, tiramos o de fora porque é uma constante em relaç��o à integração.

Passo 5

Agora, vamos considerar o valor absoluto de 1a = 1|a| cdot sign(a) na expressão final. Se for negativo, a integral terá um sinal invertido. Para garantir que a integral permaneça positiva (ou que consideremos a orientação correta), usamos o valor absoluto de :
Na prática, isso assegura que a transformação não altera o valor da integral em termos de magnitude, independentemente do sinal de .

Resposta

Portanto, provamos que:
integral f(ax + b) , dx = 1|a| integral f(u) , du
Essa transformação de variável não altera o valor da integral, apenas ajusta a escala pela constante .

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