e a série Maclaurin de para mostrar que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função hiperbólica inversa da tangente, que é denotada por , pode ser expressa de duas formas diferentes. A primeira forma usa o logaritmo natural:
E a segunda forma utiliza uma série de Maclaurin, que é uma maneira de representar funções como somas infinitas de potências de :
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a série de Maclaurin e como aplicar essa série ao logaritmo natural. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Maclaurin. Ela é uma série de potências que representa uma função em torno de . A fórmula geral é:
Mas uma forma mais prática para algumas funções é já sabermos a expansão diretamente. No caso do logaritmo natural, sabemos que para :
Essa série é útil porque nos ajuda a expandir o logaritmo em potências de que podemos manipular.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a expressão dada para :
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
Sabemos que pode ser expandido usando a série geométrica para :
Portanto, multiplicando por :

Passo 4

Agora, aplicamos o logaritmo natural nessa expressão. Mas antes, vamos reescrever a série de logaritmo natural:
No nosso caso, , mas isso pode complicar as coisas. Em vez disso, vamos usar a relação dada inicialmente e focar na série de Maclaurin diretamente.
Vamos retornar à expressão:
Podemos separar o logaritmo:
Então,

Passo 5

Agora, substituímos as expansões em série de Maclaurin para e :
Substituindo na expressão de :

Passo 6

Vamos simplificar as somas:
Observando que é:
  • quando é par,
  • quando é ímpar.
Isso significa que apenas os termos ímpares restam na soma.

Passo 7

Vamos reescrever a soma considerando apenas os termos ímpares, ou seja, onde :

Resposta

Assim, mostramos que:

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Calcule o valor das integrais impróprias
dada a condição de ou .
Exemplo 04: Prove que a seguinte transformação não altera a integral:
onde é a mudança de variável.
Considere:
Determine seu valor usando o método de um círculo.
Use o método dos resíduos para calcular a integral:
onde é a substituição de variáveis em coordenadas polares.