tgh^-1 x=12 ln (1+x1-x) -1
e a série Maclaurin de ln (1+x) para mostrar que
tgh^-1 x=sumn=0^infty x^2 n+12 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função hiperbólica inversa da tangente, que é denotada por tgh^-1 x, pode ser expressa de duas formas diferentes. A primeira forma usa o logaritmo natural:
tgh^-1 x = 12 ln (1+x1-x) para -1 < x < 1
E a segunda forma utiliza uma série de Maclaurin, que é uma maneira de representar funções como somas infinitas de potências de x:
tgh^-1 x = sumn=0^infty x^2n+12n+1
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a série de Maclaurin e como aplicar essa série ao logaritmo natural. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Maclaurin. Ela é uma série de potências que representa uma função f(x) em torno de x = 0. A fórmula geral é:
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + dots
Mas uma forma mais prática para algumas funções é já sabermos a expansão diretamente. No caso do logaritmo natural, sabemos que para |x| < 1:
ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn = x - x^22 + x^33 - x^44 + dots
Essa série é útil porque nos ajuda a expandir o logaritmo em potências de x que podemos manipular.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a expressão dada para tgh^-1 x:
tgh^-1 x = 12 ln (1+x1-x)
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
1+x1-x = (1+x)(1 - x)^-1
Sabemos que (1 - x)^-1 pode ser expandido usando a série geométrica para |x| < 1:
11 - x = sumn=0^infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + dots
Portanto, multiplicando por (1 + x):
1+x1-x = (1 + x) sumn=0^infty x^n = sumn=0^infty x^n + sumn=0^infty x^n+1 = 1 + 2x + 2x^2 + 2x^3 + dots

Passo 4

Agora, aplicamos o logaritmo natural nessa expressão. Mas antes, vamos reescrever a série de logaritmo natural:
ln(1 + y) = sumn=1^infty (-1)^n+1 y^nn
No nosso caso, y = 2x + 2x^2 + 2x^3 + dots, mas isso pode complicar as coisas. Em vez disso, vamos usar a relação dada inicialmente e focar na série de Maclaurin diretamente.
Vamos retornar à expressão:
tgh^-1 x = 12 ln (1+x1-x)
Podemos separar o logaritmo:
ln(1+x1-x) = ln(1+x) - ln(1-x)
Então,
tgh^-1 x = 12 [ln(1+x) - ln(1 - x)]

Passo 5

Agora, substituímos as expansões em série de Maclaurin para ln(1+x) e ln(1 - x):
ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn
ln(1 - x) = -sumn=1^infty x^nn
Substituindo na expressão de tgh^-1 x:
tgh^-1 x = 12 [sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn + sumn=1^infty x^nn]

Passo 6

Vamos simplificar as somas:
tgh^-1 x = 12 sumn=1^infty [(-1)^n+1 + 1] x^nn
Observando que (-1)^n+1 + 1 é:
  • 0 quando n é par,
  • 2 quando n é ímpar.
Isso significa que apenas os termos ímpares restam na soma.

Passo 7

Vamos reescrever a soma considerando apenas os termos ímpares, ou seja, n = 2k + 1 onde k = 0, 1, 2, dots:
tgh^-1 x = 12 sumk=0^infty 2 x^2k + 12k + 1 = sumk=0^infty x^2k + 12k + 1

Resposta

Assim, mostramos que:
tgh^-1 x = sumn=0^infty x^2n+12n+1 para -1 < x < 1

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