e a série Maclaurin de
para mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função hiperbólica inversa da tangente, que é denotada por
, pode ser expressa de duas formas diferentes. A primeira forma usa o logaritmo natural:
E a segunda forma utiliza uma série de Maclaurin, que é uma maneira de representar funções como somas infinitas de potências de
:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a série de Maclaurin e como aplicar essa série ao logaritmo natural. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Maclaurin. Ela é uma série de potências que representa uma função
em torno de
. A fórmula geral é:
Mas uma forma mais prática para algumas funções é já sabermos a expansão diretamente. No caso do logaritmo natural, sabemos que para
:
Essa série é útil porque nos ajuda a expandir o logaritmo em potências de
que podemos manipular.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a expressão dada para
:
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
Sabemos que
pode ser expandido usando a série geométrica para
:
Portanto, multiplicando por
:
Passo 4
Agora, aplicamos o logaritmo natural nessa expressão. Mas antes, vamos reescrever a série de logaritmo natural:
No nosso caso,
, mas isso pode complicar as coisas. Em vez disso, vamos usar a relação dada inicialmente e focar na série de Maclaurin diretamente.
Vamos retornar à expressão:
Podemos separar o logaritmo:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos as expansões em série de Maclaurin para
e
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 6
Vamos simplificar as somas:
Observando que
é:
-
quando é par, -
quando é ímpar.
Isso significa que apenas os termos ímpares restam na soma.
Passo 7
Vamos reescrever a soma considerando apenas os termos ímpares, ou seja,
onde
:
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Calcule o valor das integrais impróprias
dada a condição de
ou
.
Exemplo 04: Prove que a seguinte transformação não altera a integral:
onde
é a mudança de variável.
Considere:
Determine seu valor usando o método de um círculo.
Use o método dos resíduos para calcular a integral:
onde
é a substituição de variáveis em coordenadas polares.