Enunciado Questão 3
As coordenadas cilíndricas é frequentemente usado em problemas que envolvem simetria cilíndrica, como cilindros, cones, ou qualquer situação em que a localização de um ponto seja mais naturalmente descrita em termos de sua distância a partir de um eixo, um ângulo e uma altura vertical.
Sobre o cilindro definido por x^2 + y^2 <= 4 e 0 <= z <= 5, utilizando coordenadas cilíndricas, aplique a integral tripla de g(x, y, z) = x^2 + y^2 e assinale a alternativa correta:
Alternativas
A) 125.66
B) 100
C) 110
D) 130
E) 120

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas dentro de um cilindro definido por e . A função que vamos integrar é . Para resolver isso, precisamos entender como mudar as coordenadas cartesianas para cilíndricas e montar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas :
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função em coordenadas cilíndricas:

Passo 4

Vamos identificar os limites de integração:
  • varia de 0 até a raiz de 4, ou seja,
  • varia de 0 a para cobrir toda a volta do cilindro
  • varia de 0 a 5

Passo 5

Montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, é a função e multiplicamos por do elemento de volume.

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
A integral agora é:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a :
Multiplicando tudo:
Calculando :

Resposta

A alternativa correta é a letra A) 125.66.

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