Enunciado Questão 3
As coordenadas cilíndricas é frequentemente usado em problemas que envolvem simetria cilíndrica, como cilindros, cones, ou qualquer situação em que a localização de um ponto seja mais naturalmente descrita em termos de sua distância a partir de um eixo, um ângulo e uma altura vertical.
Sobre o cilindro definido por
e
, utilizando coordenadas cilíndricas, aplique a integral tripla de
e assinale a alternativa correta:
Alternativas
A) 125.66
B) 100
C) 110
D) 130
E) 120
As coordenadas cilíndricas é frequentemente usado em problemas que envolvem simetria cilíndrica, como cilindros, cones, ou qualquer situação em que a localização de um ponto seja mais naturalmente descrita em termos de sua distância a partir de um eixo, um ângulo e uma altura vertical.
Sobre o cilindro definido por
Alternativas
A) 125.66
B) 100
C) 110
D) 130
E) 120
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas dentro de um cilindro definido por
e
. A função que vamos integrar é
. Para resolver isso, precisamos entender como mudar as coordenadas cartesianas para cilíndricas e montar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas
para cilíndricas
:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função
em coordenadas cilíndricas:
Passo 4
Vamos identificar os limites de integração:
-
varia de 0 até a raiz de 4, ou seja, -
varia de 0 a para cobrir toda a volta do cilindro -
varia de 0 a 5
Passo 5
Montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
é a função e multiplicamos por
do elemento de volume.
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
A integral agora é:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Multiplicando tudo:
Calculando
:
Resposta
A alternativa correta é a letra A) 125.66.