Use o critério da comparação por limite para analisar o comportamento das séries abaixo quanto a sua convergência. sumn=1^infty 1raizn^3+n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série e queremos descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Critério da Comparação por Limite, que é uma técnica matemática para comparar duas séries e ver como elas se comportam quando fica bem grande. Vamos precisar entender como manipular a expressão da série e escolher uma comparação adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Quando é grande, os termos de menor ordem (como e ) ficam menos significativos comparados a . Então, podemos aproximar . Assim, nossa série fica aproximadamente .

Passo 3

Agora, escolhemos a série de comparação . Sabemos que essa é uma série p com . Como , essa série converge.

Passo 4

Vamos calcular o limite do quociente dos termos das duas séries quando limn to infty 1raizn^3+n+11n^32 = limn to infty n^32raizn^3+n+1 tende ao infinito:
limn to infty n^32n^32 raiz1 + 1n^2 + 1n^3 = limn to infty 1raiz1 + 1n^2 + 1n^3 = 1raiz1 + 0 + 0 = 1
Simplificando a expressão dentro do limite:
O limite é um número finito e positivo (1), então pelo Critério da Comparação por Limite, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Resposta

A série converge.

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