Use o critério da comparação por limite para analisar o comportamento das séries abaixo quanto a sua convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série
e queremos descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Critério da Comparação por Limite, que é uma técnica matemática para comparar duas séries e ver como elas se comportam quando
fica bem grande. Vamos precisar entender como manipular a expressão da série e escolher uma comparação adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Quando
é grande, os termos de menor ordem (como
e
) ficam menos significativos comparados a
. Então, podemos aproximar
. Assim, nossa série fica aproximadamente
.
Passo 3
Agora, escolhemos a série de comparação
. Sabemos que essa é uma série p com
. Como
, essa série converge.
Passo 4
Vamos calcular o limite do quociente dos termos das duas séries quando
tende ao infinito:
Simplificando a expressão dentro do limite:
O limite é um número finito e positivo (1), então pelo Critério da Comparação por Limite, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.
Resposta
A série
converge.