Calcule o valor das as integrais a seguir.
integral1^3 2 x+3x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . O que isso significa? Basicamente, queremos encontrar a área sob a curva da função entre e . Para isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, mais especificamente a simplificação da fração algébrica para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 2x + 3x + 1 = 2 - -1x + 1 . Para isso, dividimos o numerador pelo denominador.
2x + 3x + 1 = 2 + 1x + 1
Isso porque , então podemos reescrever:

Passo 3

Agora que simplificamos a fração, a integral fica:
integral1^3 (2 + 1x + 1) , dx
Podemos separar a integral em duas partes:
integral1^3 2 , dx + integral1^3 1x + 1 , dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Primeira integral:
integral 2 , dx = 2x + C
  1. Segunda integral:
integral 1x + 1 , dx = ln|x + 1| + C

Passo 5

Agora aplicamos os limites de integração de 1 a 3 para cada parte.
  1. Primeira parte:
2x |1^3 = 2(3) - 2(1) = 6 - 2 = 4
  1. Segunda parte:
ln|x + 1| |1^3 = ln(4) - ln(2) = ln(42) = ln(2)

Passo 6

Somando as duas partes:
4 + ln(2)

Resposta

O valor da integral é .

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