Calcule o valor das as integrais a seguir.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A questão pede para calcular a integral definida de no intervalo de até . Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais de funções do tipo e aplicar isso nos limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de em relação a é uma das integrais básicas que aprendemos. A antiderivada de é , onde é o logaritmo natural.

Passo 3

Agora, aplicamos a antiderivada nos limites de integração. Isso significa que vamos calcular para e para , e depois subtrair os dois valores.

Passo 4

Vamos calcular . Sabemos que . Como , então .

Passo 5

Em seguida, calculamos . Já sabemos que .

Passo 6

Agora, subtraímos os dois resultados: .

Resposta

O valor da integral é .

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Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
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Considere a função
O limite existe?
A função satisfaz que e . Podemos afirmar, usando o Teorema do Valor Intermediário, que existe um número tal que ? Justifique.