Calcule o valor das as integrais a seguir.
integrale^e^2 d xx ln ^2 x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de até . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que o denominador tem e o numerador tem . Isso sugere que uma boa substituição seria deixar .

Passo 3

Com du = 1x dx , precisamos encontrar em termos de . Diferenciando ambos os lados:
Isso nos dá . Agora, podemos reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo na integral original:
integrale^e^2 1x ln^2x dx = integralu(e)^u(e^2) 1u^2 du
Aqui, e . Então, os limites de integração mudam para 1 e 2.

Passo 5

Agora, a integral fica:
integral1^2 1u^2 du
Isso é mais simples de resolver. A antiderivada de -1u + C é:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
[ -1u ]1^2 = ( -12 ) - ( -11 ) = -12 + 1 = 12

Resposta

O valor da integral é .

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