Calcule o valor das as integrais a seguir.
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de até . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que o denominador tem e o numerador tem . Isso sugere que uma boa substituição seria deixar .

Passo 3

Com , precisamos encontrar em termos de . Diferenciando ambos os lados:
Isso nos dá . Agora, podemos reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo na integral original:
Aqui, e . Então, os limites de integração mudam para 1 e 2.

Passo 5

Agora, a integral fica:
Isso é mais simples de resolver. A antiderivada de é:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:

Resposta

O valor da integral é .

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O limite existe?