A função
satisfaz que
e
. Podemos afirmar, usando o Teorema do Valor Intermediário, que existe um número
tal que
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função
e sabe que
e
. A pergunta é: usando o Teorema do Valor Intermediário, será que existe um número
tal que
? Vamos precisar entender o que é esse teorema e como ele se aplica aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se a função
é contínua em um intervalo fechado
e assume valores
e
, então para qualquer valor entre
e
, existe pelo menos um ponto
no intervalo
tal que
é exatamente esse valor intermediário.
Passo 3
Agora, vamos analisar a nossa função
. Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos que
seja contínua no intervalo considerado. Vamos ver o intervalo que a gente tem: de
a
.
Passo 4
Olha só, a função
tem um problema aqui. Ela não está definida em
, porque não dá pra dividir por zero. Isso significa que há uma descontinuidade no ponto
, que está dentro do nosso intervalo
. Como a função não é contínua em todo o intervalo, o Teorema do Valor Intermediário não pode ser aplicado diretamente.
Passo 5
Além disso, mesmo ignorando a descontinuidade, a função
nunca atinge o valor zero para nenhum número real
. Isso porque
não tem solução real. A função se aproxima de zero quando
vai para mais ou menos infinito, mas nunca chega exatamente a zero.
Resposta
Não, não podemos afirmar que existe um número
tal que
usando o Teorema do Valor Intermediário, porque a função
não é contínua no intervalo
devido à descontinuidade em
e, além disso, nunca assume o valor zero para nenhum
real.