Considere a função
f(x)= x^2+1, & para x<2 2, & para x=2 9-x^2, & para x>2
O limite lim x 2 f(x) existe?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função definida por partes e pergunta se o limite quando se aproxima de 2 existe. Estamos trabalhando com limites, que é um conceito fundamental no cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites laterais (da esquerda e da direita) e verificar se eles são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função:
f(x)= x^2+1, & para x<2 2, & para x=2 9-x^2, & para x>2
Queremos saber . Para isso, vamos calcular o limite da função à esquerda de 2 ( ) e à direita de 2 ( ).

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda ( limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 ):
Quando se aproxima de 2 pela esquerda, usamos a expressão .
Então, o limite pela esquerda é 5.

Passo 4

Calculando o limite pela direita ( limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (9 - x^2) = 9 - 2^2 = 9 - 4 = 5 ):
Quando se aproxima de 2 pela direita, usamos a expressão .
Então, o limite pela direita também é 5.

Passo 5

Verificando se os limites laterais são iguais:
Como ambos os limites, tanto pela esquerda quanto pela direita, são iguais a 5, isso significa que:
lim x 2 f(x) = 5

Resposta

Sim, o limite existe e é igual a 5.

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