(Equação Exata) (4 t^3 y^3 - 2 t y) dt + (3 t^4 y^2 - t^2) dy = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata juntos! O enunciado que você me enviou é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas, que são aquelas onde existe uma função tal que a equação pode ser escrita como . Para resolver, vamos precisar integrar partes da equação e encontrar essa função .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos escrever a equação na forma padrão:
Onde:
Como a equação é exata, sabemos que . Isso confirma que podemos prosseguir com a integração.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função integrando em relação a :
Vamos integrar termo a termo:
Então, temos:
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que estamos integrando em relação a .

Passo 4

Para encontrar , vamos derivar em relação a e igualar à função :
Sabemos que:
Igualando as duas expressões:
Isso simplifica para:
Integrando em relação a :
Podemos chamar essa constante de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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