(Equação Exata)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata juntos! O enunciado que você me enviou é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas, que são aquelas onde existe uma função
tal que a equação pode ser escrita como
. Para resolver, vamos precisar integrar partes da equação e encontrar essa função
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos escrever a equação na forma padrão:
Onde:
Como a equação é exata, sabemos que
. Isso confirma que podemos prosseguir com a integração.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função
integrando
em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
Então, temos:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que estamos integrando em relação a
.
Passo 4
Para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar à função
:
Sabemos que:
Igualando as duas expressões:
Isso simplifica para:
Integrando
em relação a
:
Podemos chamar essa constante de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Calcule o valor da integral de superfície
de duas formas:
usando a representação vetorial ;
usando a representação vetorial
(Equação Separável)
.
Seja
, onde
. Determine
.
Calcule o valor da integral
diretamente da definição (i.e., definição de integral de superfície);