Calcule um valor inteiro positivo n que implique na igualdade (-raiz(2)/2 + raiz(2)/2 i)^n = 1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente precisa encontrar um número inteiro positivo que faça a igualdade valer.
Aqui, estamos lidando com números complexos e potências deles. Para resolver isso, vamos usar um pouco de teoria de números complexos, especificamente a representação polar e as propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o número complexo na forma polar. Isso significa expressar o número na forma , onde é o módulo e é o argumento do número complexo.
Para encontrar o módulo :
Então, o módulo .
Agora, para encontrar o argumento :
(Escolhemos porque o número está no segundo quadrante.)
Portanto, a forma polar é:

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade das potências de números complexos na forma polar. Se temos um número complexo na forma , então sua potência é dada por:
No nosso caso, como , fica:
Queremos que isso seja igual a 1, que na forma polar é .

Passo 4

Então, temos que:
Para que isso seja verdade, o ângulo precisa ser múltiplo completo de , já que o cosseno e o seno se repetem a cada . Ou seja:
é
Resolvendo para :
Queremos que seja um número inteiro positivo. Então, precisamos que também seja inteiro. Isso significa que precisa ser divisível por 3, ou seja, precisa ser múltiplo de 3.

Passo 5

Vamos encontrar o menor valor de que satisfaça isso. O menor múltiplo de 3 para é :
Então, é o menor número inteiro positivo que satisfaz a igualdade.

Resposta

O valor inteiro positivo que satisfaz a igualdade é .

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