Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Se então

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa afirmação juntos! O enunciado diz: "Se então ". Isso está relacionado ao estudo dos números complexos, especificamente sobre o módulo e o argumento de um número complexo. Vamos precisar entender o que significa e como isso afeta o argumento de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa . Aqui, é um número complexo e é a distância entre e o ponto no plano complexo. A desigualdade descreve um círculo com centro em (no eixo real) e raio .

Passo 3

Agora, vamos analisar . O argumento é o ângulo que o número complexo faz com o eixo real positivo. A condição significa que está na primeira ou quarta quadrante do plano complexo, ou seja, com parte imaginária positiva ou negativa, mas sem ultrapassar graus em relação ao eixo real.

Passo 4

Vamos verificar se todo número complexo que satisfaz também satisfaz . Para isso, podemos pensar em como pertencente ao círculo centrado em com raio .

Passo 5

Visualizando o círculo , vemos que ele se estende desde até no eixo real. No ponto , temos:
Aqui, está exatamente na fronteira do círculo, mas a desigualdade é estrita, então não pertence ao conjunto. Porém, se considerarmos muito próximo de , digamos , temos:
Para :

Passo 6

Agora, consideremos , que está na fronteira do círculo:
Novamente, está na fronteira, mas não faz parte do conjunto. Porém, se pegarmos :
Para :

Passo 7

Porém, se considerarmos um ponto como , temos:
Mas, ajustando para dentro do círculo, :
E o argumento:

Passo 8

Finalmente, vamos considerar um ponto que viola a condição do argumento. Se tomarmos no lado negativo do eixo imaginário, por exemplo, :
O argumento:
Isso ainda satisfaz .

Resposta

Verdadeira. Para todo número complexo que satisfaz , o argumento é menor que .

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