Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Se
então
Se
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa afirmação juntos! O enunciado diz: "Se
então
". Isso está relacionado ao estudo dos números complexos, especificamente sobre o módulo e o argumento de um número complexo. Vamos precisar entender o que significa
e como isso afeta o argumento de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que representa
. Aqui,
é um número complexo e
é a distância entre
e o ponto
no plano complexo. A desigualdade
descreve um círculo com centro em
(no eixo real) e raio
.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. O argumento
é o ângulo que o número complexo
faz com o eixo real positivo. A condição
significa que
está na primeira ou quarta quadrante do plano complexo, ou seja, com parte imaginária positiva ou negativa, mas sem ultrapassar
graus em relação ao eixo real.
Passo 4
Vamos verificar se todo número complexo
que satisfaz
também satisfaz
. Para isso, podemos pensar em
como pertencente ao círculo centrado em
com raio
.
Passo 5
Visualizando o círculo
, vemos que ele se estende desde
até
no eixo real. No ponto
, temos:
Aqui,
está exatamente na fronteira do círculo, mas a desigualdade é estrita, então
não pertence ao conjunto. Porém, se considerarmos
muito próximo de
, digamos
, temos:
Para
:
Passo 6
Agora, consideremos
, que está na fronteira do círculo:
Novamente, está na fronteira, mas não faz parte do conjunto. Porém, se pegarmos
:
Para
:
Passo 7
Porém, se considerarmos um ponto como
, temos:
Mas, ajustando para dentro do círculo,
:
E o argumento:
Passo 8
Finalmente, vamos considerar um ponto que viola a condição do argumento. Se tomarmos
no lado negativo do eixo imaginário, por exemplo,
:
O argumento:
Isso ainda satisfaz
.
Resposta
Verdadeira. Para todo número complexo
que satisfaz
, o argumento
é menor que
.
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e
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