Determine qual a distância entre os dois números complexos e e qual está mais próximo da origem. Justifique a resposta.

Passo 1

Vamos resolver um problema de números complexos. Precisamos encontrar a distância entre os dois números complexos e e descobrir qual deles está mais próximo da origem (ponto ). Para isso, vamos utilizar a fórmula da distância entre dois números complexos e a fórmula da magnitude de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dois números complexos:
  • Número complexo
  • Número complexo

Passo 3

Para encontrar a distância entre e , usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano complexo:
â
Onde e .

Passo 4

Substituindo os valores:
â

Passo 5

Agora, vamos descobrir qual dos dois números está mais próximo da origem. Para isso, calculamos a magnitude de cada número complexo, que é a distância entre o número complexo e a origem.
A fórmula da magnitude é:

Passo 6

Calculando a magnitude de :
Calculando a magnitude de :

Passo 7

Comparando as magnitudes:
Como , o número complexo está mais próximo da origem.

Resposta

A distância entre os números complexos e é . Além disso, o número complexo está mais próximo da origem.

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