Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4x² – 4x – k não tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x.
Passo 1
Então, a gente tem a função quadrática $ f(x) = 4x² – 4x – k $. A questão pede para encontrar o valor de $ k $ que faz com que essa parábola não cruze o eixo $ x $, ou seja, que não tenha raízes reais. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de discriminante da equação do segundo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa função quadrática $ f(x) = ax² + bx + c $. No nosso caso:
- $ a = 4 $
- $ b = -4 $
- $ c = -k $
Passo 3
O discriminante ($ \Delta $) da equação do segundo grau é calculado pela fórmula:
Esse valor nos diz se a equação tem duas raízes reais, uma raiz ou nenhuma raiz real.
Passo 4
Queremos que a parábola não tenha raízes reais, ou seja, que $ \Delta < 0 $. Vamos substituir os valores na fórmula do discriminante:
Passo 5
Agora, impomos a condição $ \Delta < 0 $:
Passo 6
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar $ k $:
Resposta
O valor de $ k $ deve ser menor que
para que a função $ f(x) = 4x² – 4x – k $ não tenha raízes reais.