Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4x² – 4x – k não tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x.

Passo 1

Então, a gente tem a função quadrática $ f(x) = 4x² – 4x – k $. A questão pede para encontrar o valor de $ k $ que faz com que essa parábola não cruze o eixo $ x $, ou seja, que não tenha raízes reais. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de discriminante da equação do segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa função quadrática $ f(x) = ax² + bx + c $. No nosso caso:
  • $ a = 4 $
  • $ b = -4 $
  • $ c = -k $

Passo 3

O discriminante ($ \Delta $) da equação do segundo grau é calculado pela fórmula:
De²
Esse valor nos diz se a equação tem duas raízes reais, uma raiz ou nenhuma raiz real.

Passo 4

Queremos que a parábola não tenha raízes reais, ou seja, que $ \Delta < 0 $. Vamos substituir os valores na fórmula do discriminante:
De²
De

Passo 5

Agora, impomos a condição $ \Delta < 0 $:
De

Passo 6

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar $ k $:
k
16k < -16

Resposta

O valor de $ k $ deve ser menor que k para que a função $ f(x) = 4x² – 4x – k $ não tenha raízes reais.

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