O ponto P ( - 4 , k, p) pertence a reta que passa no ponto ( 1 , 3 ,4) e apresenta vetor diretor v=(-1,2,1). Determine o valor de k + p, com k e p reais.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um ponto $ P(-4, k, p) $ que está numa reta. Essa reta passa pelo ponto $ (1, 3, 4) $ e tem um vetor diretor $ \mathbf{v} = (-1, 2, 1) $. O objetivo é descobrir o valor de $ k + p $.
Para resolver isso, vamos usar a equação paramétrica da reta. Isso nos ajuda a encontrar as coordenadas de qualquer ponto que está na reta, usando um parâmetro, geralmente chamado de $ t $. Precisamos saber como montar essa equação e igualar com as coordenadas do ponto $ P $ para encontrar $ k $ e $ p $.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação paramétrica da reta. A equação paramétrica de uma reta que passa pelo ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ e tem vetor diretor $ \mathbf{v} = (a, b, c) $ é dada por:
No nosso caso, o ponto pelo qual a reta passa é $ (1, 3, 4) $ e o vetor diretor é $ (-1, 2, 1) $. Então, substituindo esses valores na fórmula, temos:
Passo 3
Agora, sabemos que o ponto $ P(-4, k, p) $ está nessa reta. Isso significa que as coordenadas de $ P $ devem satisfazer as equações paramétricas que acabamos de escrever. Vamos igualar cada coordenada de $ P $ com as equações da reta:
Primeiro, vamos resolver a primeira equação para encontrar o valor de $ t $:
Agora que temos $ t = 5 $, vamos substituir esse valor nas outras duas equações para encontrar $ k $ e $ p $:
Para $ k $:
Para $ p $:
Resposta
A soma de $ k + p $ é: